НЕРАВЕНСТВА

НЕРАВЕНСТВА (матем.), соотношения
между
числами
или величинами, указывающие, какие из них больше других. Для обозначения
H. употребляется знак <, обращённый остриём к меньшему числу. Так, соотношения
2>1 и 1<2 выражают одно и то же, а именно: 2 больше 1, или 1 меньше
2. Иногда несколько H. записываются вместе (напр.,
а < b < с).
Желая
выразить, что из двух чисел а и Ъ
первое или больше второго,
или равно ему, пишут: a >= b (или
b <= а)
и читают:
"а больше или равно b" (или "b меньше или равно а") либо
короче: "а не меньше b" (или "b
не больше а"). Запись
a <> b означает, что числа а и
b
не равны, но не
указывает, какое из них больше. Все эти соотношения также наз. H.

H. обладают многими свойствами, общими
с равенствами. Так, H. остаётся справедливым, если к обеим частям его прибавить
(или от обеих частей отнять) одно и то же число. Точно так же можно умножать
обе части H. на одно и то же положительное число. Однако если обе части
H. умножить на отрицательное число, то смысл H. изменится на обратный (т.
е. знак > заменяется на <, а < на >). Из неравенства А < В
к С < D следует А + С < В + D и А - D < В
- С, т. е. одноимённые H. (A < В и С < D) можно почленно складывать,
а разноимённые H. (А < В и D > С) - почленно вычитать.
Если числа А, В, С и D положительны, то из неравенств А
< В и С < D следует также AC < BD и A/D <
В/С, т. е. одноимённые H. (между положительными числами) можно почленно
перемножать, а разноимённые - почленно делить.

H., в к-рые входят величины, принимающие
различные числовые значения, могут быть верны для одних значений этих величин
и неверны для других. Так, неравенство х² - 4х + 3 >
О верно при x = 4 и неверно при x - 2. Для H. этого типа
возникает вопрос об их решении, т. е. об определении границ, в к-рых следует
брать входящие в H. величины для того, чтобы H. были справедливы. Так,
переписывая неравенство х² - 4x + 3 > О в виде: (х
- 1) (х - 3) > О, замечают, что оно будет верно для всех х,
удовлетворяющих
одному из следующих неравенств: х < 1, х
> 3, к-рые и
являются решением данного H.

Укажем несколько типов H., выполняющихся
тождественно в той или иной области изменения входящих в них переменных.

1) Неравенство для модулей. Для любых
действительных или комплексных чиселасправедливо H.

2) Неравенство для средних. Наиболее
известны H., связывающие гармонич., геометрич., арифметич. и квадратич.
средние:

здесь все числа а. . ., аположительны.

3) Линейные неравенства. Рассматривается
система H. вида a+... + a=bi (i =1, 2,...,m).

Совокупность решений этой системы H.
представляет собой нек-рый выпуклый многогранник в га-мерном пространстве
(X1,
Xзадача теории линейных H. состоит в том,
чтобы изучить свойства этого многогранника. Нек-рые вопросы теории линейных
H. тесно связаны с теорией наилучших приближений, созданной П. Л.
Чебышевым.

См. также Бесселя неравенство, Буняковского
неравенство, Гёльдера неравенство, Коши неравенство, Минковского неравенство.

H. имеют существенное значение для
всех разделов математики. В теории чисел целый раздел этой дисциплины -
диофантовы
приближения - полностью основан на H.; аналитич. теория чисел тоже
часто оперирует с H. В алгебре даётся аксиоматич. обоснование H.; линейные
H. играют большую роль в теории линейного программирования.
В геометрии
H. постоянно встречаются в теории выпуклых тел и в изопериметрических
задачах. В теории вероятностей многие законы формулируются с помощью
H. (см., напр., Чебышева неравенство). В теории дифференциальных
уравнений используются т. н. дифференциальные H. (см., например, Чаплыгина
метод). В теории функций постоянно употребляются различные H. для производных
от многочленов и тригонометрич. полиномов. В функциональном анализе при
определении нормы в функциональном пространстве требуется, чтобы она удовлетворяла
H. треугольника

|x+y|| <= ||x|| +||y||.

Многие классич. H. в сущности определяют
значения нормы линейного функционала или линейного оператора в том или
ином пространстве или дают оценки для них.

Лит.: Коровкин П. П., Неравенства,
3 изд., M., 1966; X а р д и Г. Г., Л и т т л ь-в У Д Д ж· E., Полна Г.,
Неравенства, пер. с англ., M., 1948.