НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
обобщение
классич. понятия интеграла на случай неограниченных функций и функций,
заданных на бесконечном промежутке интегрирования (см. Интеграл). Определённый
интеграл как предел интегральных сумм Римана может существовать (иметь
определённое конечное значение) лишь для ограниченных функций, заданных
на конечном интервале. Поэтому, если интервал интегрирования или подинтегральная
функция не ограничены, для определения интеграла требуется ещё один предельный
переход: получающиеся при этом интегралы наз. несобственными интегралами.
Если функция f(x) интегрируема
на любом конечном отрезке [a, N] и если существует
то его наз. H. и. функции f (х)
на
интервале [а, оо ] и обозначают
В этом случае говорят, что H. и. сходится.
Когда этот предел, а значит и H.и., не существует, то иногда говорят, что
H. и. расходится. Напр.,
сходится при
> 1 и расводится при < 1. Аналогично
определяют H. и. на интервалах
Если функция f(x), заданная
на отрезке
[а,b], не ограничена в окрестности точки а, но
интегрируема на любом отрезке
[а +
,
b], O < < b
- а и если существует
то его наз. H. и. функции f(x) на
[а,
b] и записывают обычным образом:
Аналогично поступают, если f(x)
нe ограничена в окрестности точки b.
Если существует H. и.
то говорят, что H. и.
абсолютно сходится; если же последние
интегралы сходятся (но первые расходятся), то H. и.
наз. условно сходящимися.
Задачи, приводящие к H. и., рассматривались
в геометрич. форме Э Торричелли и П. Ферма в 1644. Точные
определения H. и. даны О. Коши в 1823. Различие условно и абсолютно
сходящихся H. и. установлено Дж. Стоксом и П. Г. Л. Дирихле (1854).
Ряд работ математиков 19 в. посвящён вычислению H. и. в случаях, когда
соответствующая первообразная не выражается через элементарные функции.
Осн. приёмами вычисления H. и. являются дифференцирование и интегрирование
по параметру, разложение в ряды, применение теории вычетов. Значения многих
H. и. приводятся в различных таблицах.
H. и. имеют важное значение во многих
областях математич. анализа и его приложений. В теории спец. функций (ци-линдрич.
функций, ортогональных многочленов и др.) одним из осн. способов изучения
является изображение функций в виде H. и., зависящих от параметра, напр.
(см. Гамма-функция). К H. и.
относится и Фурье интеграл, а также интегралы, встречающиеся при
др. интегральных преобразованиях. Решения краевых задач математич.
физики записываются кратными H. и. с неогранич. подинтегральной функцией.
В теории вероятностей важное значение имеет H. и.
в теории диффракции света - H. и.
В ряде случаев расходящимся H. и. можно
приписать определённое значение (см. Суммирование). В частности,
если интеграл
расходится, но существует
то А наз. главным значением
Н. и. и обозначают
Так,
Аналогично вводится главное значение
H. и. от неогранич. функций. В работах H. И. Мусхелишвили и его
учеников построена теория интегральных уравнений, содержащих H. и., понимаемые
в смысле главного значения.
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей
математики, 20 изд., т. 2, М.- Л., 1967; Фихтенгольц Г. M., Курс дифференциального
и интегрального исчисления, 7 изд. т. 2, M., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический
анализ, т. 1, M., 1970.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я