НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ

НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ функции, заданные
соотношениями между независимыми переменными, неразрешёнными относительно
последних; эти соотношения являются одним из способов задания функции.
Напр., соотношение х²+у²-1=0 задаёт H. ф.
y
=
y(х), соотношения x =cos\vasin\va,
у
=sin\vasin\va,
z =cos\va задают H. ф.:=(х,
у, z),\va=\va(x, у, Z),\va = \va(x,у,z). В
простейших случаях соотношения, задающие H. ф., могут быть разрешены в
классе элементарных функций, т. е. удаётся найти элементарные функции,
удовлетворяющие этим соотношениям. Так, в первом из приведённых выше примеров
имеем:

а во втором:

Вообще же таких элементарных функций
найти не удаётся. H. ф. могут быть как однозначными, так и многозначными.
Не всякое соотношение (или система соотношений) между переменными задаёт
H. ф. Так, если ограничиваться лишь действительными значениями переменных,
то соотношение х² + у² + 1 = О не задаёт H.
ф., так как не удовлетворяется ни одной парой действительных значений x
и y; соотношение же е^ху = 0 вообще не удовлетворяется
ни одной парой действительных или комплексных значений x и у.
Теорема
существования H. ф. в её простейшей формулировке утверждает, что если функция
F(x,y)
обращается в нуль при паре значений x = x
[F(x)<>0] и дифференцируема в окрестности
точки (х), причём F')и
F'непрерывны в этой окрестности и F'xy0,
то в достаточно малой окрестности точки xсуществует
одна и только одна однозначная непрерывная функция y = у(х), удовлетворяющая
соотношению F(x, y) = 0 и обращающаяся в y при
x
= xпри этом у'(х) = -F'y).

Для приближённого вычисления значений
H. ф. вблизи точки xгде её значение y
уже известно, широко применяются степенные ряды. Так, если F(x, y)
- аналитическая функция [т. е. может быть разложена в окрестно сти точки
(xy) в сходящийся двойной степенной ряд] и F'y)<>0, то H. ф., заданная соотношением F(x, у) =
0, может быть получена в виде степенного ряда

сходящегося в нек-рой окрестности точки
x
= xКоэффициенты C1, 2,..., могут
быть найдены либо подстановкой этого ряда в соотношение F(x, y)
= О, либо последовательным дифференцированием этого соотношения по x. Напр.,
если H. ф. задана соотношением

y⁵+xy-1= 0, x= 0, yто

откуда

Co=1, C1=--1/5Co^-3, C-2C1²Co^-1-1/5C1Co^-4=-1/25 И T. Д.

Если соотношение F(x, y) = 0
может быть представлено в виде у = а +x\va(y), где \va(у)
- аналитическая функция, то H. ф. у = у(х), заданная этим соотношением
и принимающая значение а при x =0, разлагается в ряд Лагранж
а

сходящийся в нек-рой окрестности точки
x
=
О. Напр., из соотношения у = а + xsiny (т. н.
Кеплера
уравнение) можно получить:

Вычисление значений H. ф. в общем случае
может быть произведено по методу последовательных приближений.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей
математики, т. 1, 22 изд., M., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., M., 1969; Фихтенгольц
Г. M., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1,
M., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 2, M., 1970.