НОРМАЛЬНАЯ (ЖОРДАНОВА) ФОРМА МАТРИЦ
С каждой квадратной матрицей А=||a Если матрица Л имеет жорданову форму I,
Представление о применениях жордановой
связан целый класс матриц, подобных матрице A. В этом классе всегда существует
матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму
[термин "Н. (ж.) ф. м." связан с именем К. Жордана]. На схеме показана
жорда-нова форма нек-рой матрицы 8-го порядка:
Вдоль главной диагонали расположены спец.
квадратные клетки (на схеме они обведены пунктиром). Все элементы матрицы,
расположенные вне этих клеток, равны нулю. В каждой диагональной клетке
вдоль главной диагонали повторяется одно и то же (комплексное) число (в
первой клетке Л
в диагональных клетках равны нулю. На приведённой схеме имеются три диагональные
клетки, из к-рых первая имеет порядок 4, вторая и третья - порядок 2. В
общем же случае число клеток и порядки их могут быть любыми. Среди чисел
Л
в
указанном примере имеет след. элементарные делители: (Л-Л
(Л-Л
делителям матрицы однозначно определяется её жорданова форма.
то существует неособенная матрица Т такая, что А = Т1Т-1.
Замену
матрицы А подобной ей матрицей I наз. приведением матрицы
А к
нормальной жордановой форме.
формы матрицы можно получить на примере системы линейных дифференциальных
ур-ний с постоянными коэффициентами:
в матричной записи:
Введём новые неизвестные функции y
Т
=
||t
в матричной записи: х = Ту. Подставляя
это выражение для х в (2), получим:
где матрица I связана с матрицей Л равенством:
Обычно матрицу Т подбирают так
чтобы матрица А имела жорданову форму. В этом случае система ур-ний
(3) значительно проще системы (2). Так, напр., при п = 8, если матрица
А=||t
жорданову форму (1), то система (3) будет иметь вид:
Интегрирование такой системы сводится
к многократному интегрированию одного дифференциального ур-ния. Лит.
см.
при ст. Матрица.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я