НЬЮТОНА БИНОМ

НЬЮТОНА БИНОМ название формулы,
выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома,
двучлена) через степени этих слагаемых, а именно:



где п - целое положительное число,
а
и
b
- какие угодно числа.

Частными случаями Н. б. при п = 2
и га = 3 являются известные формулы для квадрата и куба суммы а и
6 : (а + b)² = а² + 2аb + V, (а + b)³
= а³ + 3а^2b + 3аb² + b³; при
n = 4 получают (а + b)⁴ = а⁴ + 4а³b +
6а²b² + 4дb³ + b⁴, и т.
д.

Коэффициенты формулы (или разложения) Н.
б. называют биномиальными коэффициентами; коэффициент при а^n-kb^kобозначается
так: (ⁿkобозначение связано с комбинаторикой: С^kчисло сочетаний из п различных между собой элементов, взятых по
k.
Биномиальные
коэффициенты обладают многими замечательными свойствами: все они целые
положительные числа; крайние коэффициенты равны единице; коэффициенты членов,
равноотстоящих от концов, одинаковы; коэффициенты возрастают от краёв к
середине; сумма всех коэффициентов равна 2ⁿ. Особенно важное
значение имеет следующее свойство: сумма двух соседних коэффициентов в
разложении (а + 6)" равна определённому коэффициенту в разложении
(а + b)ⁿ⁺¹; напр., суммы 1 + 3, 3+3, 3+1 соседних коэффициентов
в формуле для (а + b)³ дают коэффициенты 4, 6 и 4 в формуле
для (а + b)⁴. Вообще:



Пользуясь этим свойством, можно, отправляясь
от известных коэффициентов для (а + b)¹, получить путём
сложения биномиальные коэффициенты для любого п. Выкладки располагают
в виде таблицы (см. Арифметический треугольник).

Формула Н. б. для целых положительных показателей
была известна задолго до И. Ньютона; но им была указана (1676) возможность
распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного
показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь Н. Абелем,
1826).
В этом более общем случае формула Н. б. начинается так же, как формула
(1); коэффициентом при a^n-kb^k служит выражение к-рое,
в случае целого положительного п, обращается в нуль при всяком
k
> п, вследствие чего формула (1) содержит лишь конечное число членов.
В случае же дробного или отрицательного п все биномиальные коэффициенты
отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов
(биномиальный ряд). Если |b| < |a|, то этот ряд сходится, т.
е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину,
сколь угодно близкую к (а + b)ⁿ (см. Ряд). Формула
Н. о. играет важную роль во многих областях математики (алгебре, теории
чисел и др.).

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я