ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА
теорема, условием
к-рой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением - условие.
Обратной к О. т. будет исходная (прямая) теорема. Таким образом, прямая
и О. т. взаимно обратны. Напр., теоремы: "если два угла треугольника равны,
то их биссектрисы равны" и "если две биссектрисы треугольника равны, то
соответствующие им углы равны" - являются обратными друг другу. Из справедливости
к.-н. теоремы, вообще говоря, не следует справедливость обратной к ней
теоремы. Напр., теорема: "если число делится на 6, то оно делится на 3"
- верна, а О. т.: "если число делится на 3, то оно делится на 6" - неверна.
Даже если О. т. верна, для её доказательства могут оказаться недостаточными
средства, используемые при доказательстве прямой теоремы. Напр., в евклидовой
геометрии верны как теорема "две прямые на плоскости, имеющие общий перпендикуляр,
не пересекаются", так и обратная к ней теорема "две непересекающиеся прямые
на плоскости имеют общий перпендикуляр". Однако вторая (обратная) теорема
основывается на евклидовой аксиоме параллельных, тогда как для доказательства
первой эта аксиома не нужна. В Лобачевского геометрии вторая просто
неверна, тогда как первая остаётся в силе. О. т. равносильна теореме, противоположной
к прямой, т. е. теореме, в к-рой условие и заключение прямой теоремы заменены
их отрицаниями. Поэтому прямая теорема равносильна теореме, противоположной
к обратной, т. е. теореме, утверждающей, что если неверно заключение прямой
теоремы, то неверно и её условие. Известный способ "доказательства от противного"
как раз и представляет собой замену доказательства прямой теоремы доказательством
теоремы, противоположной к обратной. Справедливость обеих взаимно обратных
теорем означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно,
но и необходимо для справедливости заключения (см. Необходимые и достаточные
условия).
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я