ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ функция,
обращающая
зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у
= = f(х)
- данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция
переменной у, х = (р(у), является о б-р а т н о и по отношению
к данной функции у = f(x). Напр., О. ф. для у = = ах +
b (а 0) является х=(у-b)/а, О. ф. для у = е* является
х
=
In у и т. д. Если х = ф(y) есть О. ф. по отношению к у
= f(x), то и у = f(x) есть О. ф. по отношению
к х = ф(у). Областью определения О. ф. является область значений
данной функции, а областью значений О. ф.- область определения данной.
Графики двух взаимно обратных функций у = f(x) и у =
<р(х)
(где
независимое переменное обозначено одной и той же буквой
х),
как,
напр., у = ах + b и у = (х - b)/а, у =
е^хи
у = In х, симметричны по отношению к биссектрисе у
=
х первого и третьего координатных углов. Функция, обратная по отношению
к однозначной функции, может быть многозначной (ср., напр., функции х²
и корень из х). Для однозначности О. ф. необходимо и достаточно,
чтобы данная функция у = f(x) принимала различные значения для различных
значений аргумента. Для непрерывной функции последнее условие может выполняться
только в том случае, если данная функция монотонна (имеются в виду функции
действительного аргумента, принимающие действительные значения). О. ф.
по отношению к непрерывной и монотонной функции однозначна, непрерывна
и монотонна.

Если данная функция кусочно монотонна,
то, разбивая область её определения на участки её монотонности, получают
однозначные ветви О. ф. Так, одним из участков монотонности для sin x
служит
интервал -Пи/2<х<Пи/2; ему соответствует т. н. главная ветвь
arc sin x обратной функции Arc sin x. Для пары однозначных
взаимно обратных функций имеют место соотношения ф[f(x)] = x и f[ф(x)]
=
x, первое из к-рых справедливо для всех значений х из области
определения функции f(x), а второе - для всех значений х
из
области определения функции ф(х); напр.,
е^1nх = =
х (х > 0). Иногда функцию, обратную к
f(x) = у, обозначают
f^-1(y)
=
х, так что для непрерывной и монотонной функции f(x): f^-1[f
(x)]=f[f^-1(x)]=x. Вообще же f^-1[f (x)] представляет
собой многозначную функцию от х, одним из значений к-рой является
х;
так, для
f(x)= x², x(не равен 0) является лишь одним
из двух значений
f^-1[f (x)] = корню из х (другое: -х);
для f(x) = sin x, x является лишь одним из бесконечного
множества значений



Если у = f(x) непрерывна и монотонна
в окрестности точки х = хи дифференцируема при х
= хпричём f'(х, тo
f^-1(y) дифференцируема при у = уи





(формула дифференцирования О. ф.). Так,
для -Пи/2<х<Пи/2, y = f(x) = sin x
непрерывна
и монотонна, f'(x) = cos x не равно 0 и f^-1(y)=arc
sin у (-1<у<1) дифференцируема, причём где имеется в виду положительное
значение корня (так как cos х > 0 для -Пи/2 <х<Пи/2).