ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ обыкновенного дифференциального
уравнения

y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y', ... ,
y^(n-1))
- семейство функций у = ф(х, Cнепрерывно зависящих от п произвольных постоянных Ci,..., С„, такое,
что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено любое
решение уравнения (частное решение), однозначно определяемое начальными
данными, заполняющими некоторую область и-мерного пространства (см. Дифференциальные
уравнения. Коши задача). Если каждая функция у, определяемая
соотношением Ф(х, у, d,..., Cn)=0 (и удовлетворяющая соответствующим
условиям гладкости), представляет собой О. р. дифференциального уравнения,
то такое соотношение наз. общим интегралом
дифференциального уравнения.
Напр., для дифференциального уравнения
у'= - х/у функции
у
=
+корень из (С²-х²)
(верхние полуокружности)
и у = -корень из (С²-х²) (нижние
полуокружности) представляют собой О. р.; соотношение же х²+у²=С²
(семейство
окружностей) есть общий интеграл (рис.). Аналогично определяется О. р.
для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных
уравнений, 8 изд., М., 1959.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я