ОБЪЁМ

ОБЪЁМ одна из осн. величин, связанных
с геометрич. телами. В простейших случаях измеряется числом умещающихся
в теле единичных кубов, т. е. кубов с ребром, равным единице длины. Задача
вычисления О. простейших тел, идущая от практич. потребностей, была одним
из стимулов развития геометрии. Математика Др. Востока (Вавилония, Египет)
располагала рядом правил (б. ч. эмпирических) для вычисления О. тел, с
к-рыми чаще всего приходилось встречаться на практике (напр., призматич.
брусьев, пирамид полных и усечённых, цилиндров). Среди формул О. были и
неточные, дававшие не слишком заметную процентную ошибку лишь в пределах
употребительных линейных размеров тела. Греч, математика последних столетий
до нашей эры освободила теорию вычисления О. от приближённых эмпирич. правил.
В "Началах" Евклида и в сочинениях Архимеда имеются только точные правила
для вычисления О. многогранников и нек-рых круглых тел (цилиндра, конуса,
шара и их частей). При этом уже в учении об О. многогранников греч. математики
должны были преодолеть значит, трудности, существенно отличающие этот отдел
геометрии от родственного ему отдела о площадях многоугольников. Источник
различия, как выяснилось лишь в нач. 20 в., состоит в следующем: в то время
как всякий многоугольник можно посредством надлежащих прямолинейных разрезов
и перекладывания полученных частей "перекроить" в квадрат, аналогичное
преобразование (посредством плоских разрезов) произвольного многогранника
в куб оказывается, вообще говоря, невозможным (теорема Дена, 1901). Отсюда
становится ясным, почему Евклид уже в случае треугольной пирамиды был вынужден
прибегнуть к бесконечному процессу последовательных приближений, пользуясь
при доказательстве исчерпывания методом. Бесконечный процесс лежит
и в основе совр. трактовки измерения О., сводящийся к следующему. Рассматриваются
всевозможные многогранники, вписанные в тело К, и всевозможные многогранники,
описанные вокруг тела К. Вычисление О. многогранника сводится к
вычислению объёмов составляющих его тетраэдров (треугольных пирамид). Пусть
{Vчисловое
множество объёмов вписанных в тело многогранников, a
{V- числовое множество описанных вокруг тела К
многогранников.
Множество {V ограничено сверху (объёмом любого описанного
многогранника), а множество {Vограничено снизу (напр.,
числом нуль). Наименьшее из чисел, ограничивающее сверху множество {Vi},
наз. нижним объёмом у тела К; а наибольшее из чисел, ограничивающее
снизу множество {V, наз. верхним объёмом V тела К.
Для
того чтобы тело было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого
положительного числа е можно было указать такой описанный вокруг тела многогранник
и такой вписанный в тело многогранник, разность Vобъёмов к-рых была бы меньше е. Аналитически О. может быть выражен с помощью
кратных интегралов. Пусть тело К (рис. 1)

ограничено цилиндрич. поверхностью с параллельными
оси Oz образующими, квадрируемой областью М

плоскости Оху и поверхностью z =
= f(x, у), к-рую любая параллель к образующей цилиндра пересекает
в одной и только в одной точке. Объём такого тела может быть вычислен с
помощью двойного интеграла



О. тела, ограниченного замкнутой поверхностью,
к-рая встречается с параллелью к оси Ог не более чем в двух точках, может
быть вычислен как разность О. двух тел, подобных предшествующему. О. тела
может быть выражен в виде тройного интеграла



где интегрирование распространяется на
часть пространства, занятую телом. Иногда удобно вычислять О. тел через
его поперечные сечения. Пусть тело (рис.2), содержащееся между плоскостями
z
= a и z=b (а), рассекается плоскостями, перпендикулярными
оси Oz. Если все сечения тела квадрируемы и площадь сечения S - напрерывная
функция от z, то О. тела может быть выражен простым интегралом



Исторически происходило так, что задолго
до создания интегрального исчисления операция интегрирования фактически
применялась (в различных геометрич. формах) к вычислению О. простейших
тел (пирамиды, шара, нек-рых тел вращения), чем и была подготовлена почва
для оформления этого исчисления в 17-18 вв. В частности, формулу (1) содержал
в зародыше т. н. Кавальеры принцип, сохраняющий своё значение для
школьного преподавания. В элементарном преподавании полезной оказывается
также Симпсона формула,
соответствующая тому случаю, когда в (1)
функция S(z) является многочленом не выше 3-й степени.

Об обобщениях понятия "О." см, в ст. Мера
множества.

Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математик
ческий анализ, т. 1 - 2, М., 1970; Лебег А., Об измерении величин, пер.
с франц., 2 изд., М., 1960.