ОГИБАЮЩАЯ

ОГИБАЮЩАЯ семейства линий на плоскости
(поверхностей в пространстве), линия (поверхность), к-рая в каждой своей
точке касается одной линии (поверхности) семейства, геометрически отличной
от О. в сколь угодно малой окрестности точки касания (см. Семейство
линий, Семейство поверхностей). Уравнение О. семейства линий на плоскости,
определяемого уравнением f (х, у, С) = 0, содержащим параметр С,
можно получить [в предположении, что f (x, у, С) имеет непрерывные
частные производные 1-го порядка по всем трём аргументам], исключив параметре
из системы:

f (х, у, С) = 0, f'(х, у, С) = 0. Это исключение, вообще говоря, даёт не только О., но
и геометрич. место особых точек линий семейства, т. е. точки, для к-рых
одновременно f=0, f'0.
О'Генри. "Милый жулик". Нью-Йорк,
1917 (илл. неизв. художника).

Примеры (на плоскости): а) семейство окружностей
радиуса R, центры к-рых лежат на одной прямой, имеет в качестве
О. пару прямых, параллельных линии центров и отстоящих от неё в ту и другую
сторону на расстояние R (см. рис. 1); б) всякая кривая служит О.
для семейства своих касательных и семейства своих кругов кривизны; в) если
в каждой точке кривой построить к ней нормаль, то для полученного семейства
прямых О. будет эволюта (см. Эволюта и эвольвента) данной кривой
(на рис. 2 изображена эволюта эллипса).

В пространстве для семейств поверхностей
могут существовать О., касающиеся поверхностей семейства в точках или же
вдоль нек-рых линий. Примеры: а) семейство сфер радиуса R с центрами,
расположенными на одной прямой, имеет своей О. круглый цилиндр радиуса
R,
ось
к-рого есть линия центров (касание цилиндра с каждой сферой - по окружности);
б) семейство сфер радиуса R, центры к-рых лежат в одной плоскости,
имеет О. пару плоскостей, параллельных плоскости центров и отстоящих от
неё в ту и другую сторону на расстояние R (касание плоскостей с
каждой сферой - в точке).

Понятие О. имеет значение не только в геометрии,
но и в нек-рых вопросах математич. анализа (особые решения в теории дифференциальных
уравнений), теоретич. физики (в оптике - каустика, фронт волны).

Лит.: Холстов Г. П., К отысканию
огибающей семейства плоских кривых, "Успехи математических наук", 1952,
т. 7, в. 4; Л а Балл е-П у с с е н Ш.-Ж. д е, Курс анализа бесконечно малых,
пер. с франц., т. 2, Л. -М., 1933; И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г.,
Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.