ОПЕРАТОРЫ

ОПЕРАТОРЫ в квантовой теории, математич.
понятие, широко используемое в математич. аппарате квантовой механики
и
квантовой
теории поля и служащее для сопоставления определённому вектору состояния
(или волновой функции) ф др. определённых векторов (функций) ф'. Соотношение
между ф и ф' записывается в виде ф' = Lф, где L -
оператор. В
квантовой механике физич. величинам (координате, импульсу, моменту количества
движения, энергии и т. д.) ставятся в соответствие О. L (О. координаты,
О. импульса и т. д.), действующие на вектор состояния (или волновую функцию)
ф, т. е. на величину, описывающую состояние физич. системы.

Простейшие виды О., действующих на волновую
функцию ф(x:) (где x - координата частицы),- О. умножения (напр.,
О. координаты х, xф = xф) и О. дифференцирования (напр.,
О. импульса p, pф=-ih/(дф/дх) где i - мнимая единица,

h - постоянная Планка). Если ф - вектор,
компоненты к-рого можно представить в виде столбца чисел, то О. представляет
собой квадратную таблицу - матрицу.

В квантовой механике в основном используются
линейные
операторы. Это означает, что они обладают след, свойством: если Lф= Ф' то

L(с= с
где Cсуперпозиции
принцип - один из осн. принципов квантовой механики.

Существ, свойства О. L определяются
уравнением Lф-
число.
Решения этого уравнения фп наз. собственными функциями (собств. векторами)
оператора L. Собств. волновые функции (собств. векторы состояния
) описывают в квантовой механике такие состояния, в к-рых данная физич.
величина L имеет определённое значение Лназ. собственными значениями О. L, а их совокупность - спектром
О. Спектр может быть непрерывным или дискретным; в первом случае уравнение,
определяющее фп, имеет решение при любом значении Лобласти), во втором - решения существуют только при определённых дискретных
значениях Лчастично дискретным. Напр., О. координаты и импульса имеют непрерывный
спектр, а О. энергии в зависимости от характера действующих в системе сил
- непрерывный, дискретный или смешанный спектр. Дискретные собств. значения
О. энергии наз. энергетич. уровнями.

Собств. функции и собств. значения О. физич.
величин должны удовлетворять определённым требованиям. Т. к. непосредственно
измеряемые физич. величины всегда принимают веществ, значения, то соответствующие
квантовомеханич. О. должны иметь веществ, собств. значения. Далее, поскольку
в результате измерения физич. величины в любом состоянии ф должно получаться
одно из возможных собств. значений этой величины, необходимо, чтобы произвольная
волновая функция (вектор состояния) могла быть представлена в виде линейной
комбинации собств. функций (векторов) фп О. этой физич. величины; др. словами,
совокупность собств. функций (векторов) должна представлять полную систему.
Этими свойствами обладают собств. функции и собств. значения т. н. самосопряжённых
О., или эрмитовых операторов.

С О. можно производить алгебраич. действия.
В частности, под произведением О. Lи Lпонимается такой О. L = LLдействие
к-рого на вектор (функцию) ф даёт Lф = ф", если

LLф'
= ф". Произведение О. в общем случае зависит от порядка сомножителей, т.
е. LLLL.
Этим алгебра О. отличается от обычной алгебры чисел. Возможность перестановки
порядка сомножителей в произведении двух О. тесно связана с возможностью
одновременного измерения физич. величин, к-рым отвечают эти О. Необходимым
и достаточным условием одновременной измеримости физич. величин является
равенство LLLL(см.
Перестановочные
соотношения).

Уравнения квантовой механики могут быть
формально записаны точно в том же виде, что и уравнения классич. механики
(гейзенберговское представление в квантовой механике), если заменить физич.
величины, входящие в уравнения классич. механики, соответствующими им О.
Всё различие между квантовой и классич. механикой сведётся тогда к различию
алгебр. Поэтому О. в квантовой механике иногда наз. q-числами, в отличие
от с-чисел, т. е. обыкновенных чисел, с к-рыми имеет дело классич. механика.

О. можно не только умножать, но и возводить
в степень, образовывать из них ряды и рассматривать функции от О. Произведение
эрмитовых О. в общем случае не является эрмитовым. В квантовой механике
используются и неэрмитовы О., важным классом к-рых являются унитарные
операторы. Унитарные О. не меняют норм ("длин") векторов и "углов"
между ними. Неизменность нормы вектора состояния даёт возможность интерпретации
его компонент как амплитуд вероятности равным образом в исходной и преобразованной
функции. Поэтому действием унитарного О. описывается развитие квантовомеханич.
системы во времени, а также её смещение как целого в пространстве, поворот,
зеркальное отражение и др. Выполняемые унитарными О. преобразования (унитарные
преобразования) играют в квантовой механике такую же роль, какую в классич.
механике играют канонич. преобразования (см. Механики уравнения канонические).

В квантовой механике применяется также
О. комплексного сопряжения, не являющийся линейным. Произведение такого
О. на унитарный О. наз. антиунитарным О. Антиунитарные О. описывают преобразование
обращения
времени и нек-рые др.

В теории квантовых систем, состоящих из
тождеств, частиц, широко применяется метод квантования вторичного, в
к-ром рассматриваются состояния с неопределённым или переменным числом
частиц и вводятся О., действие к-рых на вектор состояния с данным числом
частиц приводит к вектору состояния с изменённым на единицу числом частиц
(О. рождения и поглощения частиц). О. рождения или поглощения частицы в
данной точке х, ф(х) формально подобен волновой функции ф(x), как
q-
и
с-числа, отвечающие одной и той же физич. величине соответственно в квантовой
и классич. механике. Такие О. образуют квантованные поля, играющие фундаментальную
роль в релятивистских квантовых теориях (квантовой электродинамике, теории
элементарных частиц; см. Квантовая теория поля).

Лит. см. при статьях Квантовая
механика, Квантовая теория поля. В. Б. Берестецкий.