ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ детерминант, особого
рода матем. выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть
дана матрица порядка п, т. е. квадратная таблица, составленная
из n² элементов (чисел, функций и т. п.):

(каждый элемент матрицы снабжён двумя индексами:
первый указывает номер строки, второй - номер столбца, на пересечении к-рых
находится этот элемент). Определителем матрицы (1) наз. многочлен, каждый
член к-рого является произведением п элементов матрицы (1), причём
из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведение входит лишь один
сомножитель, т. е. многочлен вида

В этой формуле а, b, ... y есть произвольная
перестановка чисел 1, 2, ..., п. Перед членом берётся знак+, если
перестановка а, (3, ..., у чётная, и знак - , если эта перестановка
нечётная. [Перестановку называют чётной, если в ней содержится чётное число
нарушений порядка (или инверсий), т. е. случаев, когда большее число стоит
впереди меньшего, и нечётной - в противоположном случае; так, напр., перестановка
51243 - нечётная, т. к. в ней имеется 5 инверсий 51, 52, 54, 53, 43.] Суммирование
производится по всем перестановкам а, (3, ..., у чисел 1,2, ...,
п.
Число различных перестановок п симво-

лов равно п\ = l-2-З'...'п; поэтому
О. содержит п\ членов, из к-рых 1/2 n! берётся со знаком + и 1/2
п!
со знаком -. Число п наз. порядком О.

О., составленный из элементов матрицы (1),
записывают в виде:

(или, сокращённо, в виде |aДля О. 2-го и 3-го порядков имеем формулы:

О. 2-го и 3-го порядков допускают простое
геом. истолкование:

равен площади параллелограмма, построенного
на векторах a= (x)
и а, а

равен объёму параллелепипеда,

построенного на векторах а= (х), а= (х и а= (х (системы координат
предполагаются прямоугольными).

Теория О. возникла в связи с задачей решения
систем алгебраич. уравнений 1-й степени (линейные уравнения). В
наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных,
такая система может быть записана в виде:

Эта система имеет одно определённое решение,
если О. |a|, составленный из коэффициентов при неизвестных,
не равен нулю; тогда неизвестное х= 1, 2, ..., п)
равно
дроби, у к-рой в знаменателе стоит О. |a|, а в числителе
- О., получаемый из |a| заменой элементов m-го столбца
(т. е. коэффициентов при хчислами bbТак, в случае системы двух уравнений
с двумя неизвестными

Если b= b= ..., = bО, то систему (4) наз. однородной системой
линейных уравнений. Однородная система имеет отличные от нуля решения,
только если |a| = 0. Связь теории О. с теорией линейных
уравнений позволила применить теорию О. к решению большого числа задач
аналитич. геометрии. Многие формулы аналитич. геометрии удобно записывать
при помощи О.; напр., уравнение плоскости, проходящей через

точки с координатами (ху), (хy может быть записано в виде:

О. обладают рядом важных свойств, к-рые,
в частности, облегчают их вычисление. Простейшие из этих свойств следующие:

1) О. не изменяется, если в нём строки
и столбцы поменять местами:

2) О. меняет знак, если в нём поменять
местами две строки (или два столбца); так, напр.:

3) О. равен нулю, если в нём элементы двух
строк (или двух столбцов) соответственно пропорциональны; так, напр.:

4) общий множитель всех элементов строки
(или столбца) О. можно вынести за знак О.; так, напр.:

5) если каждый элемент к.-н. столбца (строки)
О. есть сумма двух слагаемых, то О. равен сумме двух О., причём в одном
из них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а
в другом - из вторых слагаемых, остальные же столбцы (строки) - те же,
что и в данном О.; так, напр.:

6) О. не изменяется, если к элементам одной
строки (столбца) прибавить элементы другой строки (другого столбца), умноженные
на произвольный множитель; так, напр.-

7) О. может быть разложен по элементам
к.-л. строки или к.-л. столбца. Разложение О. (3) по элементам г'-й строки
имеет следующий вид:

Коэффициент Aстоящий
при элементе ав этом разложении, наз. алгебраическим
дополнением элемента аАлгебраич. дополнение может
быть вычислено по формуле: A= (-1)^i+k Dгде
Dминор (подопределитель, субдетерминант), дополнительный
к элементу ал, то есть О. порядка п-1, получающийся из данного
О. посредством вычёркивания строки и столбца, на пересечении к-рых находится
элемент an,. Напр., разложение О. 3-го порядка по элементам второго
столбца имеет следующий вид:

Посредством разложения по элементам строки
или столбца вычисление О. и-го порядка приводится к вычислению га определителей
(п
- 1)-го порядка. Так, вычисление О. 5-го порядка приводится к вычислению
пяти О. 4-го порядка; вычисление каждого из этих О. 4-го порядка можно,
в свою очередь, привести к вычислению четырёх О. 3-го порядка (формула
для вычисления О. 3-го порядка приведена выше). Однако, за исключением
простейших случаев, этот метод вычисления О. практически применим лишь
для О. сравнительно небольших порядков. Для вычисления О. большого порядка
разработаны различные, практически более удобные методы (для вычисления
О. n-го порядка приходится выполнять примерно n³ арифметических
операций).

Отметим ещё правило умножения двух О. к-го
порядка: произведение двух О. и-го порядка может быть представлено в виде
О. того же и-го порядка, в к-ром элемент, принадлежащий i-й строке и k-му
столбцу,
получается, если каждый элемент г'-й строки первого множителя умножить
на соответствующий элемент k-го столбца второго множителя и все эти произведения
сложить; иными словами, произведение О. двух матриц равно О. произведения
этих матриц.

В матем. анализе О. систематически используются
после работ нем. математика К. Якоби (2-я четверть 19 в.), исследовавшего
О., элементы к-рых являются не числами, а функциями одного или нескольких
переменных. Из таких О. наибольший интерес представляет определитель Якоби
(якобиан)

Определитель Якоби равен коэффициенту искажения
объёмов при переходе от переменных за. хк
переменным

Тождественное равенство в нек-рой области
этого О. нулю является необходимым и достаточным условием зависимости

ФУНКЦИЙ< f..., Хf

Во 2-й пол. 19 в. возникла теория О. бесконечного
порядка. Бесконечными О. наз. выражения вида:

(двусторонний бесконечный О.). Бесконечный
О. (5) есть предел, к к-рому стремится О.



при бесконечном возрастании числа и. Если
этот предел существует, то О. (5) наз. сходящимся, в противном случае -
расходящимся. Исследование двустороннего бесконечного О. иногда можно привести
к исследованию нек-рого одностороннего бесконечного О.

Теория О. конечного порядка создана в основном
во 2-й пол. 18 в. и 1-й пол. 19 в. (работами швейцарского математика Г.
Крамера,
франц. математиков А. Вандермонда, П. Лапласа, О. Кошм, нем.
математиков К. Гаусса и К. Якоби). Термин "О." ("детерминант") принадлежит
К. Гауссу, совр. обозначение - англ, математику А. Кэли.

Лит. см. при статьях Линейная
алгебра, Матрица.