ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ система
функций {фп=1, 2, . . ., ортогональных с весом
р (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что

Систематич. изучение О. с. ф. было начато
в связи с методом Фурье решения краевых задач ур-ний математич. физики.
Этот метод приводит, напр., к разысканию решений Штурма - Лиувилля задачи
для
ур-ния [р(х)у']'+q(x)у=Лу, удовлетворяющих граничным условиям
у(а)+hy'(a)=0,
у(b)+Ну'(b)=0, где h и Н - постоянные. Эти решения
- т. н. собственные функции задачи - образуют О. с. ф. с весом р (х)
на отрезке [а, b].

Чрезвычайно важный класс О. с. ф.- ортогональные
многочлены - был открыт П. Л. Чебышевым в его исследованиях
по интерполированию способом наименьших квадратов и проблеме моментов.
В 20 в. исследования по О. с. ф. проводятся в основном на базе теории интеграла
и меры Лебега. Это способствовало выделению этих исследований в самостоят,
раздел математики. Одна из осн. задач теории О. с. ф.- задача о разложении
функции f(x) в ряд вида сумма С{(ф- О. с. ф. Если положить формально f (х) = сумма Сгде (фнормированная О. с. ф., и допустить
возможность почленного интегрирования, то, умножая этот ряд на фp(x) и интегрируя от а до b, получим:

имеет наименьшее значение по сравнению
с ошибками, даваемыми при том же п другими линейными выражениями
вида

Свычисленными
по формуле (*), наз. рядом Фурье функции f (x) по нормированной
О. с. ф. (фДля приложений первостепенную важность
имеет вопрос, определяется ли однозначно функция f(x) своими коэффициентами
Фурье. О. с. ф., для к-рых это имеет место, наз. полными, или замкнутыми.
Условия замкнутости О. с. ф. могут быть даны в неск. эквивалентных формах.
1) Любая непрерывная функция f(x) может быть с любой степенью точности
приближена в среднем линейными комбинациями функций фто
есть limоо [в этом случае говорят,
что ряд сумма^оо
сходится в среднем к функции f(x)}. 2) Для всякой функции f(x),
квадрат
к-рой интегрируем относительно веса р (х), выполняется условие замкнутости
Ляпунова - Стеклова:

3) Не существуег отличной от нуля функции
с интегрируемым на отрезке [а, b] квадратом, ортогональной ко всем
функциям ф1, 2, ....

Если рассматривать функции с интегрируемым
квадратом как элементы гильбертова пространства, то нормированные
О. с. ф, будут системами координатных ортов этого пространства, а разложение
в ряд по нормированным О. с. ф.- разложением вектора по ортам. При этом
подходе многие понятия теории нормированных О. с. ф. приобретают наглядный
геометрич. смысл. Напр., формула (*) означает, что проекция вектора на
орт равна скалярному произведению вектора и орта; равенство Ляпунова -
Стеклова может быть истолковано как теорема Пифагора для бесконечномерного
пространства: квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций
на оси координат; замкнутость О. с. ф. означает, что наименьшее замкнутое
подпространство, содержащее все векторы этой системы, совпадает со всем
пространством и т. д. Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М.,
1960; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М.- Л., 1949; его
же, Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; Джексон Д.,
Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; К а ч м а
ж С., ШтейнгаузГ., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958.