ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ специальные
системы многочленов (рп(х)}; п = 0, 1, 2, . . ., ортогональных с
весом р(д-) на отрезке [", о] (см. Ортогональная система функций). Нормированная
система О. м. обозначается через ра система О.
м., старшие коэффициенты к-рых равны 1,- через РВ
краевых задачах математич. физики часто встречаются системы О. м., для
к-рых вес р(х) удовлетворяет дифференциальному ур-нию (Пирсона)

Многочлен Ртакой
системы удовлетворяет дифференциальному ур-нию

Наиболее важные системы О. м. (классические)
относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя)
при указанных ниже а, b и р(х).

1) Якоби многочлены {Р(Л,n)(х)}
- при а = -1, b = 1 и р(л:) = (1-x)^Л (1 + х)ⁿ,
Л > - 1, n > - 1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют
следующим значениям X и ц: Л = n - ультрасферические многочлены Р^(Л)(их
иногда называют многочленами Гегенбауэра); Л = n = -1/2, т. е. р(х)=
1/корень из (1-х²) - Чебышева многочлены 1-го рода_ТЛ = n = 1/2, т. е. р(х)= корень из (1-.x²) - Чебышева
многочлены 2-го рода UЛ = n = 0, т. е. р(х)
=1 - Лежандра многочлены Р2)
Лагерра многочлены
Lпри а = 0, b = + бесконечность
и р(х)
= е^-x (их наз. также многочленами Чебышева - Лагерра)
и обобщённые многочлены Лагерра L^aпри
р(х) = х^aе^-x(а > - 1). 3)
Эрмита
многочлены Нпри а = -бесконечность , b=+бесконечность
и р(х)=е^-х (их наз. также многочленами Чебышева - Эрмита).

О. м. обладают многими общими свойствами.
Нули многочленов рявляются действительными и простыми
и расположены внутри [а, b]. Между двумя последоват. нулями многочлена
рлежит один нуль многочлена pМногочлен рможет быть представлен в виде т. н. формулы Родрига

где Aпостоянное,
а b(х) см. формулу (*). Каждая система О. м. обладает свойствами
замкнутости. Три последоват. О. м. pсвязаны
рекуррентным соотношением: р- Лгде а и Л
след, образом выражаются через коэффициенты этих многочленов: если

Общая теория О. м. построена П. Л. Чебышевым.
Осн.
аппаратом изучения О. м. явилось для него разложение интеграла

в непрерывную дробь с элементами вида х
- осп и числителями Л. Знаменатели фподходящих
дробей этой непрерывной дроби образуют систему О. м. на отрезке [а,
b] относительно веса р(х).

Приведённые выше классич. системы О. м.
выражаются через гипергеометрическую функцию.

Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены,
пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональная система
функций. В. И. Битюцков.