ОСОБАЯ ТОЧКА

ОСОБАЯ ТОЧКА в математике. 1) Особая
точка кривой, заданной уравнением F(х,у)=0, - точка Мy), в к-рой обе частные производные функции F(x, у)
обращаются
в нуль:

Если при этом не все вторые частные производные
функции F(x, у) в точке Мравны нулю, то О. т.
наз. двойной. Если наряду с обращением в нуль первых производных в точке
Мобращаются
в нуль и все вторые производные, но не все третьи производные равны нулю,
то О. т. наз. тройной, и т. д. При исследовании строения кривой вблизи
двойной О. т. важную роль играет знак выражения

Если дельта >0, то О. т. наз. изолированной;
напр., у кривой y²-х⁴+4x²=0 начало
координат есть изолированная О. т. (см. рис. 1). Если дельта <О, то
О. т. наз. узловой, или точкой самопересечения; напр., у кривой (х²+у²+а²)²-4a²x²-а⁴=О
начало координат есть узловая О. т. (см. рис. 2). Если Д = 0, то О. т.
кривой является либо изолированной, либо характеризуется тем, что различные
ветви кривой имеют в этой точке общую касательную, напр.: а) точка возврата
1-го рода - различные ветви кривой расположены по разные стороны от общей
касательной и образуют остриё, как у кривой у² - х³
= 0 (см. рис. 3, а); б) т о ч к а возврата 2-го рода - различные
ветви кривой расположены по одну сторону от общей касательной, как у кривой
(у
-x²)²-х⁵=0