ОШИБОК ТЕОРИЯ

ОШИБОК ТЕОРИЯ раздел математической
статистики, посвящённый построению уточнённых выводов о численных значениях
приближённо измеренных величин, а также об ошибках (погрешностях) измерений.
Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило,
различные результаты, т. к. каждое измерение содержит нек-рую ошибку. Различают
3 основных вида ошибок: систематические, грубые и случайные. Систематические
ошибки всё время либо преувеличивают, либо преуменьшают результаты измерений
и происходят от определённых причин (неправильной установки измерительных
приборов, влияния окружающей среды и т. д.), систематически влияющих на
измерения и изменяющих их в одном направлении. Оценка систематич. ошибок
производится с помощью методов, выходящих за пределы матем. статистики
(см. Наблюдений обработка). Грубые ошибки возникают в результате
просчёта, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п.
Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, сильно отличаются от других
результатов измерений и поэтому часто бывают хорошо заметны. Случайные
ошибки происходят от различных случайных причин, действующих при каждом
из отдельных измерений непредвиденным образом то в сторону уменьшения,
то в сторону увеличения результатов.

О. т. занимается изучением лишь грубых
и случайных ошибок. Основные задачи О. т.: разыскание законов распределения
случайных ошибок, разыскание оценок (см. Статистические оценки) неизвестных
измеряемых величин по результатам измерений, установление погрешностей
таких оценок и устранение грубых ошибок.

Пусть в результате n независимых
равноточных измерений нек-рой неизвестной величины а получены значения
x. . ., xРазности ббназ. истинными ошибками. В терминах
вероятностной О. т. все б трактуются как случайные величины;
независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных
величин б,...,б. Равноточность измерений
в широком смысле истолковывается как одинаковая распределённость: истинные
ошибки равноточных измерений суть одинаково распределённые случайные величины.
При этом математическое ожидание случайных ошибок b = Еб= . . . = Уб наз. систематической ошибкой, а разности
бслучайными ошибками. Т.
о., отсутствие систематич. ошибки означает, что б = 0, и в этой ситуации
бна корень из 2, где о - квадратичное отклонение,
наз. мерой точности
(при наличии систематич. ошибки мера точности выражается отношением 1/
на корень из 2(b²+о²). Равноточность измерений в
узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов
измерений. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как
в широком, так и в узком смысле) для нек-рых отдельных измерений. В качестве
оценки неизвестной величины а обычно берут арифметическое среднее
из результатов измерений

а разности дельтаx- x, . . ., дельтаназ. кажущимися ошибками.
Выбор x в качестве оценки для а основан на том, что при достаточно
большом числе n равноточных измерений, лишённых систематич. ошибки,
оценка x с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно
мало отличается от неизвестной величины а (см. Больших чисел закон);
оценка
x
лишена
систематич. ошибки (оценки с таким свойством наз. несмещёнными); дисперсия
оценки есть

Dx=Е(х-а)² = о²/n.

Опыт показывает, что практически очень
часто случайные ошибки о подчиняются распределениям,
близким к нормальному (причины этого вскрыты т. н. предельными теоремами
теории
вероятностей). В этом случае величина х имеет мало отличающееся
от нормального распределение, с математическим ожиданием а и дисперсией
о²/n.
Если распределения бв точности нормальны, то дисперсия
всякой другой несмещённой оценки для а, напр. медианы, не меньше
Dх.
Если
же распределение ботлично от нормального, то последнее
свойство может не иметь места.

Если дисперсия отдельных измерений заранее
известна, то для её оценки пользуются величиной

(Es²=о², т.
е. s² - несмещённая оценка для о²), если случайные
ошибки бимеют нормальное распределение, то отношение

подчиняется Стьюдента распределению
с
n-1 степенями свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности
приближённого равенства а