ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ возбуждение
колебаний, наступающее в колебательной системе в результате периодич.
изменения величины к.-л. из "колебательных параметров" системы (т. е. параметров,
от величины к-рых существенно зависят значения потенциальной и кинетич.
энергий и периоды собственных колебаний системы). П. в. к. может
происходить в любой колебательной системе, как в механической, так и в
электрической, напр. в колебательном контуре, образованном конденсатором
и катушкой самоиндукции, при периодич. изменении ёмкости конденсатора или
индуктивности катушки (см. также Параметрическое возбуждение и усиление
электрических колебаний).

П. в. к. наступает в случаях, когда отношение
w/w
(угловой частоты w одного из собств. колебаний системы
к угловой частоте w изменений параметра) оказывается близким к n/2,
где
n = 1,2,3,...; тогда в системе могут возбудиться колебания с частотой,
близкой к w и точно равной w/2, либо w,
либо 3w/2 и т. д. П. в. к. наступает легче всего, а возникшие колебания
оказываются наиболее интенсивными, когда
w/w1/2.

Классич. пример П. в. к.- возбуждение интенсивных
поперечных колебаний в струне, прикреплённой одним концом к ножке камертона
(рис. 1, а) путём периодич. изменения её натяжения. Легче всего
П. в. к. возникает, когда один из периодов собств. колебаний струны (её
осн. тона или к.-л. из гармоник) приблизительно вдвое больше периода колебаний
камертона. При обычном же возбуждении вынужденных колебаний струны
(рис. 1, б) с периодом, равным периоду колебаний камертона, резонанс наступил
бы всякий раз, когда период колебаний камертона совпадал бы с периодом
одного из собств. колебаний струны. Т. о., явление П. в. к. в этом отношении
сходно с резонансом при обычном возбуждении вынужденных колебаний;
поэтому П. в. к. часто наз. параметрическим резонансом.

Рис. 1. а - параметрическое возбуждение
колебаний струны; 6 - вынужденное колебание струны.

Происхождение П. в. к. можно пояснить на
модели маятника, выполненного в виде массы т, подвешенной на нити, длину
к-рой l можно менять (рис. 2, а). Т. к. период колебаний маятника
зависит от длины подвеса, то, меняя последнюю с периодом, напр., вдвое
меньшим периода собств. колебаний маятника, возможно П. в. к. Сообщив маятнику
небольшие собств. колебания, удлиняем нить каждый раз, когда маятник проходит
через одно из крайних положений, и уменьшаем её, когда он проходит через
среднее положение в том или другом направлении (рис. 2, б). Натяжение
нити не только уравновешивает направленную вдоль неё составляющую силы
тяжести mg cos a (где a- угол отклонения маятника от вертикали),
но и сообщает телу центростремительное ускорение v²/l, поэтому
натяжение нити F - mg cos a + mv²/2, т. е. имеет
наименьшее значение, когда маятник проходит через каждое из крайних положений
(где v = 0, а a не равно 0). При уменьшении длины нити в среднем
положении внеш. сила ф совершает большую работу, чем та отрицат. работа,
к-рая совершается при увеличении её в крайних положениях. В результате
за каждый период колебаний внеш. сила совершает положит. работу, и если
эта работа превосходит потери энергии колебаний в системе за период, то
энергия колебаний маятника, а значит. и амплитуда этих колебаний будут
возрастать. Поэтому начальные собств. колебания, к-рые были сообщены маятнику,
могут иметь сколь угодно малую амплитуду; в частности, это могут быть те
флуктуац. колебания, к-рые неизбежно происходят во всякой колебат. системе
вследствие воздействия на неё различных случайных факторов и имеют сплошной
спектр со всевозможными фазами гармонич. составляющих. Следовательно, независимо
от того, в какой фазе происходят периодич. изменения длины подвеса, всегда
найдутся такие малые собств. колебания маятника, для к-рых эти изменения
происходят в нужной фазе, вследствие чего амплитуда именно этих собств.
колебаний будет возрастать.

Рис. 2. a - устройство маятника с переменной
длиной подвеса; 6 - схема движения тела маятника за один период.

При П. в. к. состояние равновесия в результате
периодич. воздействия на к.-л. параметр становится неустойчивым и система
начинает совершать нарастающие колебания около положения равновесия. Однако
нарастание колебаний не происходит беспредельно, т. к., когда амплитуда
и скорости колебаний достигают больших значений, колебательная система
начинает вести себя как нелинейная система и нарастание колебаний
прекращается.

Области, в к-рых состояние равновесия неустойчиво
и происходит П. в. к., как уже указывалось, лежат вблизи значений w/w
= ¹/3/и зависят от относит. амплитуды изменений параметра а. Чем больше эта амплитуда,
тем шире область, т. е. тем при большем отличии w/w
от ¹/областей неустойчивости П. в. к. не наступает и колебания в системе отсутствуют
(в отличие от "обычного" возбуждения вынужденных колебаний, когда и вдали
от резонанса слабые вынужденные колебания всё же возникают). Вблизи значений
w/w
= ¹/3/наступает, как видно из рис. 3, при сколь угодно малых амплитудах изменений
параметра. Это - следствие того, что мы пренебрегли потерями энергии, всегда
существующими в реальной колебательной системе. Если учесть потери энергии,
то области, в к-рых состояние равновесия неустойчиво (пунктир на рис. 3),
уменьшаются. Как и следовало ожидать, при наличии потерь неустойчивость
даже в отсутствие расстройки наступает только при достаточно большой амплитуде
изменений параметра, когда вклад энергии от периодич. изменения параметра
превосходит потери. Т. о., вследствие потерь энергии, для П. в. к. всегда
существует порог. В системах с большими потерями этот порог поднимается
выше предела возможных изменений параметра сначала для более высоких отношений
coo/со, а затем и для w/w = = ¹/т. е. явление П. в. к. вообще не может возникнуть.

Рис. 3. Области, в которых возможно
параметрическое возбуждение колебаний.

Лит.: Горелик Г. С., Колебания и
волны, 2 изд., М., 1959, гл. III, § 9; Мандельштам Л. И., Полн. собр. трудов,
т. 4, М., 1955 (Лекции по колебаниям, ч. 1, лекции 18 - 19). С. М. Хайкин.