ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ функции,
выражение функциональной зависимости между неск. переменными посредством
вспомогательных переменных параметров. В случае двух переменных
x
и у зависимость между ними F (х, у) - 0 может быть геометрически
истолкована как уравнение нек-рой плоской кривой. Любую величину t,
определяющую
положение точки (х,у) на этой кривой (напр., длину дуги, отсчитываемой
со знаком + или - от нек-рой точки кривой, принятой за начало отсчёта,
или момент времени в нек-ром заданном движении точки, описывающей кривую),
можно принять за параметр, в функции к-рого выразятся
х и у.

Последние функции и дадут П. п. функциональной
зависимости между x и у, уравнения (*) называют параметрич.
уравнениями соответствующей кривой. Так, для случая зависимости х²
+ у² = 1 имеем П. п. х= cos t, у = sin
t (0=<t<2П) (параметрич. уравнения окружности); для случая
зависимости х² - у² = 1 имеем

или также х = cosec t, y - ctg
t (-Пи<t<Пи, t не равно 0)
(параметрич. ур-ния гиперболы ). Если параметр t можно выбрать так,
что функции (*) рациональны, то кривую называют уникурсальной (см. Уникурcальная
кривая); такой является, напр., гипербола. Особенно важно П. п. пространственных
кривых, т. е. задание их уравнениями вида: x = ф (t), у = фи (t),
z = x (t). Так, прямая в пространстве допускает П. п. х = а +
mt; у = b + nt; z = с + pt, винтовая линия - П. п. х - a
cos
t;
у
=
a sin t; z - ct.

Для случая трёх переменных х, у и
z, связанных зависимостью F (x,y,z) = О (одну из них, напр.
z, можно рассматривать как неявную функцию двух других), геометрич. образом
служит поверхность. Чтобы определить положение точки на ней, нужны два
параметра и и v (напр., широта и долгота на поверхности шара),
так что П. п. имеет вид: x = ф (и, v); у = фи(и,
v); z = x (и, v). Напр., для зависимости х² +
y²=(z² + 1)² имеем П. п. х =
(и²-1)cos
v;
у
= (и² + l)sin
v, z = и. Важнейшими преимуществами
П. п. являются: 1) то, что они дают возможность изучать
неявные функции
и
в тех случаях, когда переход к их явному заданию без посредства параметров
затруднителен; 2) то, что здесь удаётся выражать многозначные функции посредством
однозначных. Вопросы П. п. изучены особенно хорошо для аналитич. функций.
П. п. аналитич. функций посредством однозначных аналитич. функций составляет
предмет теории
униформизации.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я