ПЕРЕМЕННАЯ

ПЕРЕМЕННАЯ переменное, одно из
осн. понятий математики и логики. Начиная с работ П. Ферма, Р. Декарта,
И.
Ньютона,
Г.
В. Лейбница и др. основоположников "высшей" математики под П. понимали
нек-рую "величину", к-рая может "изменяться", принимая в процессе этого
изменения различные "значения". Тем самым П. противопоставлялись "постоянным"
(или константам)- числам или к.-л. др. "величинам", каждая из к-рых имеет
единственное, вполне определённое значение (см. Переменные и постоянные
величины). По мере развития математики и в ходе её обоснования представления
о "процессах", "изменении величин" и т. п. тщательно изгонялись из матем.
арсенала как "внематематические", в результате чего П. стала пониматься
как обозначение для произвольного элемента рассматриваемой предметной области
(напр., области натуральных чисел или действительных чисел), т. е. как
родовое имя всей этой области (в отличие от констант - "собственных имён"
для чисел или др. конкретных предметов рассматриваемой области). Этот пересмотр
взглядов на понятие П. был тесно связан с перестройкой математики на базе
множеств
теории,
завершившейся в кон. 19 в. При всей простоте и "естественности"
такой перестройки она существенным образом опирается на т. н. абстракцию
актуальной бесконечности, позволяющую рассматривать произвольные бесконечные
множества в качестве "данных" ("завершённых", "готовых", "актуальных")
объектов и применять по отношению к ним любые средства классич. логики,
отвлекаясь от незавершённости и принципиальной незавершимости процесса
образования такого множества. Трудности решения логич. проблем, связанных
с принятием этой абстракции, делают понятной частичную "реабилитацию" старинных
представлений о "переменных величинах"; при построении матем. теорий представители
нек-рых школ (см. Математический интуиционизм, Конструктивное направление)
предпочитают
обходиться более слабой, но зато менее уязвимой в логич. отношении абстракцией
потенциальной осуществимости, с точки зрения к-рой с бесконечными множествами
как раз связываются представления о процессах их "порождения",-сколь угодно
далеко заходящих, но никогда не завершающихся (см. Бесконечность в
математике). При исследовании вопроса непротиворечивости
различных
областей математики на такую позицию фактически встаёт значит. большинство
математиков и логиков (см. Метаматематика).

В формализованных языках (исчислениях,
формальных
системах) матем. логики П. наз. символы строго фиксированного вида, могущие
при определённых условиях заменяться выражениями данного исчисления. Это
относится к т. н. свободным (или значащим) П., примером к-рых может служить
П. х в неравенстве х > 5, обращающемся при подстановке вместо
л:, скажем, цифры (т. е. обозначения для числа) 7 в истинное высказывание,
а при подстановке цифры 2 - в ложное высказывание. Что касается т. н. связанных
(или фиктивных) П., то они сами по себе вообще ничего не означают, несут
чисто синтаксич. функции и могут (при соблюдении нек-рых элементарных предосторожностей)
"переименовываться", т. е. заменяться др. П. Такова, напр., П. у в
записях

у или



в интерпретации (прочтения) к-рых она
вообще не входит и может быть заменена любой др. П.; так, первая из них
(читаемая как "сумма целых чисел от 5 до 25") может быть заменена на

х или

z, а вторая ("все числа обладают свойством
Р") - на

Различают индивидные, пропозициональные,
предикатные, функциональные, числовые и др. виды П., вместо к-рых можно
(согласно спец. правилам подстановки) подставлять соответственно обозначения
предметов из рассматриваемой области ("термы"), обозначения для конкретных
высказываний, предикатов, функций, чисел и др. Т. о., П. можно содержательно
понимать как "пустое место" в формуле, снабжённое указанием, чем это "место"
может быть "заполнено" (своего рода "тара под строго определённый товар").

Свободные вхождения П. в выражения содержательных
науч. теорий и формулы логико-матем. исчислений (соответствующие употреблению
неопределённых местоимений в обычной речи) допускают различные интерпретации.
Первая (соответствующая применению всякого рода процедур подстановок) -
т. н. предикатная интерпретация: формула A (xк.-л.
исчисления понимается как нек-рый n-местный предикат. Та же формула
может интерпретироваться и как предложение (высказывание),
а именно
как предложение VVx· · ·, Хп), являющееся её "замыканием",-это т. н. интерпретация всеобщности
(употребительная, напр., при формулировке аксиом различных науч.
теорий). Свободным П. могут, наконец, приписываться значения, постоянные
в пределах нек-рого контекста (напр., вывода из данной совокупности формул);
их тогда наз. параметрами этого контекста и говорят об их условной интерпретации.
Напр., П. х в выражении cos x, взятом изолированно, имеет
предикатную интерпретацию, в тождестве sin² х + cos²x
=1 - интерпретацию всеобщности, в уравнении cos x = 1 (в процессе
его решения, когда эта П. именуется "неизвестным") - условную интерпретацию.

Т. о., на различных уровнях формализации
понятие П. выступает как уточнение средств, общеупотребительных в обычных
разговорных языках (неопределённые местоимения, неопределённые артикли),
и различных способов использования этих средств.

См. также Квантор, Логика предикатов,
Математика.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику,
пер. с англ., М., 1957, §§ 31, 32, 45; Чёрч А., Введение в математическую
логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, §§ 02, 04, 06.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я