ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
величины,
к-рые
в изучаемом вопросе принимают различные значения либо, соответственно,
сохраняют одно и то же значение. Напр., при изучении падения тела расстояние
последнего от земли и скорость падения - переменные величины, ускорение
же (если пренебречь сопротивлением воздуха)- величина постоянная. Элементарная
математика рассматривала все изучаемые ею величины как постоянные. Понятие
переменной величины возникло в математике в 17 в. под влиянием запросов
естествознания, выдвинувшего на первый план изучение движения - процессов,
а не только состояний. Это понятие не укладывалось в формы, выработанные
математикой древности и средних веков, и требовало для своего выражения
новых форм. Такими новыми формами явились буквенная алгебра и аналитич.
геометрия Р. Декарта. В буквах декартовой алгебры, могущих принимать
произвольные числовые значения, и нашли своё символическое выражение переменные
величины. "Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина.
Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря
этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление..."
(Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 573). В
этот период и вплоть до сер. 19 в. преобладают механич. воззрения на переменные
величины. Наиболее ярко они были выражены И. Ньютоном, называвшим
переменные величины "флюэнтами", т.е. текущими, и рассматривавшим их "...не
как состоящие из крайне малых частей, но как описываемые непрерывным движением"
("Математические работы", М., 1937, с. 167). Эти воззрения оказались весьма
плодотворными и, в частности, позволили Ньютону совершенно по-новому подойти
к нахождению площадей криволинейных фигур. Ньютон впервые стал рассматривать
площадь криволинейной трапеции (ABNM на рис.)не как постоянную величину
(вычисляемую суммированием составляющих её бесконечно малых частей), а
как переменную величину, производимую движением ординаты кривой (NM);
установив,
что скорость изменения рассматриваемой площади пропорциональна ординате
NM,
он
тем самым свёл задачу вычисления площадей к задаче определения переменной
величины по известной скорости её изменения. Законность внесения в математику
понятия скорости была обоснована в нач. 19 в. теорией
пределов,
давшей
точное определение скорости как производной.
Однако в течение 19
в. постепенно выясняется ограниченность описанного выше воззрения на переменные
величины. Матем. анализ всё больше становится общей теорией функций, развитие
к-рой невозможно без точного анализа сущности и объёма её основных понятий.
При этом оказывается, что уже понятие непрерывной функции в действительности
значительно сложнее, чем приведшие к нему наглядные представления. Открываются
непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке; понимать
такую функцию как результат движения означало бы допускать движение, не
имеющее скорости ни в какой момент. Всё большее значение приобретает изучение
разрывных функций, а также функций, заданных на множествах значительно
более сложной структуры, чем интервал или объединение нескольких интервалов.
Ньютоновское толкование переменной величины становится недостаточным, а
во многих случаях и бесполезным.
С другой стороны, математика начинает рассматривать
как переменные не только величины, но и всё более разнообразные и широкие
классы других своих объектов. На этой почве во 2-й пол. 19 в. и в 20 в.
развиваются теория множеств, топология и матем. логика. О том, насколько
расширилось в 20 в. понятие переменной величины, свидетельствует тот факт,
что в матем. логике рассматриваются не только переменные, пробегающие произвольные
множества предметов, но и переменные, значениями к-рых служат высказывания,
предикаты (отношения между предметами) и т. д. (см. Переменная).
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я