ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ функция,
значение к-рой не изменяется при добавлении к аргументу определённого,
неравного нулю числа, называемого периодом функции. Напр., sin x и cos
x являются П. ф. с периодом 2Пи ; {х} - дробная часть числа
x -
П. ф. с периодом 1; показательная функция е^x (если
x - комплексное переменное) - П. ф. с периодом 2Пи i и
т. п. Так как сумма и разность двух периодов есть снова период и, следовательно,
любое кратное периода есть также период, то каждая П. ф. имеет бесконечное
множество периодов. Если П. ф. имеет действительный период, непрерывна
и отлична от постоянной, то для неё существует наименьший положительный
период Т; всякий другой действительный период той же функции будет
иметь вид kT, где k = ±1, ±2,.... Сумма, произведение и частное
П. ф. с одним и тем же периодом являются П. ф. с тем же периодом. Производная
П. ф. есть П. ф. с тем же периодом, однако интеграл от П. ф. f(x) с
периодом
Т
будет
П. ф. (с тем же периодом) лишь в том случае, когда

Фундаментальная теорема теории П. ф. утверждает,
что П. ф. f(x) с периодом T [подчинённая ещё нек-рым условиям, напр.
непрерывная и имеющая в интервале (О, Т) лишь конечное число максимумов
и минимумов] может быть представлена суммой сходящегося тригонометрич.
ряда (ряда Фурье) вида:

коэффициенты этого ряда выражаются через
f(x)
по
формулам Эйлера - Фурье (см. Тригонометрические ряды, Фурье коэффициенты).

Для непрерывной П. ф. комплексного переменного
возможен случай, когда существуют два периода T,
отношение
к-рых не есть действительное число: если функция отлична от постоянной,
то всякий её период будет иметь вид kT+
kгде
k0, ±1, ±2,... и k= 0, ± 1, ± 2,.... В этом случае
П. ф. наз. двоякопериодической функцией.
Рассматриваются ещё двоякопериодич.
функции второго и третьего родов; под ними понимают функции, к-рые при
добавлении периодов к аргументу приобретают, соответственно, постоянный
или показательный множитель [то есть f(x + T) = af(x)
и
f(x
+ Т= aили f(x
+ T= e^a1xf(x)
и f(x + T) = = е^a2xf(x)].

Сумма П. ф. с разными периодами не будет
периодической функцией в случае, когда периоды несоизмеримы [напр.,

не есть П. ф.]; однако функции такого рода
обладают многими свойствами, приближающими их к П. ф.; такие функции являются
простейшими примерами т. н. почти периодических функций. П. ф. играют
чрезвычайно большую роль в теории колебаний и вообще в математической физике.