ПИ
, Пи , буква греческого
алфавита, применяемая в математике для обозначения определённого иррационального
числа, именно - отношения длины окружности к диаметру. Это обозначение
(вероятно, от греч. Пиеpiфepеa - окружность, периферия) стало общепринятым
после работы Л. Эйлера, относящейся к 1736, однако впервые оно было
употреблено англ. математиком У. Джонсом (1706). Как и всякое иррациональное
число, Пи представляется бесконечной непериодической десятичной дробью:
Пи = 3, 141 592 653589 793 238 462 643...
Нужды практич. расчётов, относящихся к окружности и круглым телам, заставили
уже в глубокой древности искать для Пи приближений с помощью рациональных
чисел. Древнеегипетские вычисления (2-е тыс. до н. э.) площади круга соответствуют
приближённому значению Пи 3 или, более точному, Пи
= 3,16049 ... Архимед (3
в. до н. э.), сравнивая окружность с правильными вписанными и описанными
многоугольниками, нашёл, что Пи заключается между
(последним из этих приближений до сих пор
пользуются при расчётах, не требующих большой точности). Китайский математик
Цзу Чун-чжи (2-я пол. 5 в.) получил для я приближение 3,1415927, вновь
найденное в Европе значительно позднее (16 в.); это приближение даёт ошибку
лишь в 7-м десятичном знаке. Поиски более точного приближения Пи продолжались
и в дальнейшем, напр. аль-Каши (1-я пол. 15 в.) вычислил 17 десятичных
знаков Пи , голл. математик Лудольф ван Цейлен (нач. 17 в.) - 32
десятичных знака. Для практич. надобностей, однако, достаточно знать неск.
десятичных знаков числа я и простейших выражений, содержащих я; в справочниках
обычно даются приближённые значения для я, 1/ Пи и Пи 2,
lg Пи с 4-7 десятичными знаками.
Число я появляется не только при решении
геометрич. задач. Со времени Ф. Виета (16 в.) разыскание пределов
нек-рых арифметич. последовательностей, составляемых по простым законам,
приводило к эхому же числу Пи . Примером может служить ряд Лейбница (1673-74):
Этот ряд сходится очень медленно. Существуют
значительно быстрее сходящиеся ряды, пригодные для вычисления Пи . Так,
напр., формула
где значения арктангенсов вычисляются с
помощью ряда
была использована (1962) для вычисления
с помощью ЭВМ ста тысяч десятичных знаков числа Пи . Такого рода вычисления
приобретают интерес в связи с понятием случайных и псевдослучайных чисел.Статистическая
обработка указанной совокупности знаков Пи показывает, что она обладает
многими чертами случайной последовательности.
Возможность чисто аналитического определения
числа Пи имеет принципиальное значение и для геометрии. Так, в неевклидовой
геометрии Пи также участвует в нек-рых формулах, но уже не как отношение
длины окружности к диаметру (это отношение в неевклидовой геометрии вовсе
не является постоянным). Средствами анализа, среди к-рых решающую роль
сыграла замечательная формула Эйлера e2 Пи i = 1 (е
- основание натуральных логарифмов, см. Неперово число;
была окончательно выяснена и арифметич.
природа числа Пи .
В кон. 18 в. И. Ламберт и А. Лежандр
установили,
что Пи - число иррациональное, а в 1882 нем. математик Ф. Линдеман доказал,
что оно трансцендентно, т. е. не может удовлетворять никакому алгебраич.
уравнению с целыми коэффициентами. Теорема Линдемана окончательно установила
невозможность решения задачи о квадратуре круга
с помощью циркуля
и линейки.
Лит.: О квадратуре круга (Архимед,
Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). С приложением истории вопроса..., пер. с нем.,
3 изд., М.-Л., 1936; Shanks D., Wrench J. W., Calculation of Пи to 100
000 decimals, " Mathematics of Computation", 1962, v. 16, № 77.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я