ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА раздел
математической
статистики, изучающий рациональную организацию измерений, подверженных
случайным ошибкам. Обычно рассматривается следующая схема П. э. Со случайными
ошибками измеряется функция f (0, х), зависящая от неизвестных
параметров (вектора 0) и от переменных х, к-рые по выбору экспериментатора
могут принимать значения из нек-рого допустимого множества X. Целью
эксперимента является обычно либо оценка всех или нек-рых параметров 0
или их функций, либо проверка нек-рых гипотез о параметрах 0. Исходя из
цели эксперимента, формулируется критерий оптимальности плана эксперимента.
Под планом эксперимента понимается совокупность значений, задаваемых переменным
х
в
эксперименте. Как правило, оценки параметров 0 ищут по наименьших квадратов
методу,
а гипотезы о параметрах 0 проверяют с помощью F-критерия Фишера
(см.
Дисперсионный анализ) ввиду оптимальных свойств этих методов.
В обоих случаях при этом оказывается естественным выбирать в качестве критерия
оптимальности плана с заданным числом экспериментов нек-рую функцию от
дисперсий
и коэффициентов
корреляции оценок методом наименьших квадратов.
Отметим, что в случае, когда f(0,x) линейно зависит от 0 оптимальный
план часто можно построить до проведения эксперимента, в других случаях
уточнение плана эксперимента происходит по ходу эксперимента.

Для иллюстрации рассмотрим определение
весов 0с двумя чашками, если результат m-го эксперимента есть разность веса содержимого
второй и первой чашки плюс случайная ошибка еи дисперсией o², т. е.

если i-й груз был на kчашке
в m-м эксперименте, и x0, если i-й груз не взвешивался
в m-м эксперименте. Взвесив каждый груз отдельно и раз (3n экспериментов),
мы оценим его вес по методу наименьших квадратов величиной

с дисперсией o²/п. При
n = 8 той же точности мы достигнем после взвешивания по одному разу
всех 8 различных комбинаций грузов, в к-рых каждый из них лежит либо на
одной, либо на другой чашке, причём оценка по методу наименьших квадратов
даётся формулой

i = 1, 2, 3.

Начало П. э. положили труды англ. статистика
Р. Фишера (1935), подчеркнувшего, что рациональное П. э. даёт не менее
существенный выигрыш в точности оценок, чем оптимальная обработка результатов
измерений. Можно выделить следующие направления П. э.

Исторически первое из них, факторное, было
связано с агробиологич. применениями дисперсионного анализа, что нашло
отражение в сохранившейся терминологии. Здесь функция f (0, x)
зависит
от вектора x переменных (факторов) с конечным числом возможных значений
и характеризует сравнительный эффект значений каждого фактора и комбинаций
разных факторов. Алгебраическими и комбинаторными методами были построены
интуитивно привлекательные планы одновременно и сбалансированным образом
изучающие влияние по возможности большого числа факторов. Впоследствии
было доказано, что построенные планы оптимизируют нек-рые естественные
характеристики оценок метода наименьших

Следующим под влиянием приложений в химии
и технике развивалось Пи э по поиску оптимальных условий протекания того
или иного процесса. По существу эти методы являются модификацией обычных
численных методов поиска экстремума с учетом случайных ошибок измерений.
Специфическими методами обладает планирование отсеивающих экспериментов,
в к-рых нужно выделить те компоненты вектора х, к-рые сильнее всего
влияют на функцию f(0,х), что важно на начальной стадии исследования,
когда вектор х имеет большую размерность В 60-х гг. 20 в. сложилась
совр. теория П. э. Ее методы тесно связаны с теорией приближения функций
и математич. программированием. Построены оптимальные планы и исследованы
их свойства для широкого класса моделей Разработаны также итерационные
алгоритмы 11. э., дающие во многих случаях удовлетворительное численное
решение задачи П. э.

Лит.: Xикс Ч. Р., Основные принципы
планирования эксперимента, пер. с англ. М., 1967, Федоров В. В., Теория
оптимального эксперимента 1971