ПЛОЩАДЬ
одна из основных величин,
связанных с геометрич. фигурами. В простейших случаях измеряется числом
заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной,
равной единице длины.
Вычисление П. было уже в древности одной
из важнейших задач практич. геометрии (разбивка земельных участков). За
неск. столетий до нашей эры греч. учёные располагали точными правилами
вычисления П., к-рые в "Нача-лах" Евклида облечены в форму теорем.
При этом П. многоугольников определялись теми же приёмами разложения и
дополнения фигур, какие сохранились в школьном преподавании. Для вычисления
П. фигур с криволинейным контуром применялся предельный переход в форме
исчерпывания
метода.
Теория П. плоских фигур, ограниченных простыми
(т. е. не пересекающими себя) контурами, может быть построена следующим
образом. Рассматриваются всевозможные многоугольники, вписанные в фигуру
F, и всевозможные многоугольники, описанные вокруг фигуры F. (Вычисление
П. многоугольника сводится к вычислению П. равновеликого ему квадрата,
к-рый может быть получен посредством надлежащих прямолинейных разрезов
и перекладывания полученных частей.) Пусть {S<} - числовое множество
П. вписанных в фигуру многоугольников, a {Sd} - числовое множество
П. описанных вокруг фигуры многоугольников. Множество {Si} ограничено
сверху (площадью любого описанного многоугольника), а множество {Sd} ограничено
снизу (напр., числом нуль). Наименьшее из чисел S, ограничивающее сверху
множество {Si}, наз. нижней площадью
фигуры F; а наибольшее из
сама фигура - квадрируемои фигурой. Для
того чтобы плоская фигура была квадрируемои, необходимо и достаточно, чтобы
для любого положительного числа е можно было указать такой описанный вокруг
фигуры многоугольник и такой вписанный в фигуру многоугольник, разность
Sd-Sf площадей к-рых была бы меньше Е.
Аналитически П. плоской фигуры может быть
вычислена с помощью интегралов. Пусть фигура F -т. н. криволинейная
трапеция (рис. 1) - ограничена графиком заданной на сегменте [а, b]
непрерывной
и неотрицательной функции f(x), отрезками прямых
х = а и
х
= b и отрезком оси Ох между точками (а, 0) и (b, 0). П. такой
фигуры может быть выражена интегралом
Рис. 1.
П. фигуры, ограниченной замкнутым контуром,
к-рый встречается с параллелью к оси Оу не более чем в двух точках,
может быть вычислена как разность П. двух фигур, подобных криволинейной
трапеции. П. фигуры может быть выражена в виде двойного интеграла:
где интегрирование распространяется на
часть плоскости, занятой фигурой.
Теория П. фигур, расположенных на кривой
поверхности, может быть определена следующим образом. Пусть F -односвязная
фигура на гладкой поверхности, ограниченная кусочно гладким контуром. Фигура
F
разбивается
кусочно гладкими кривыми на конечное число частей Ф|, каждая из к-рых однозначно
проектируется на касательную плоскость, проходящую через точку Mi, принадлежащую
части Ф( (рис. 2). Предел сумм площа-
Рис. 2.
дей этих проекций (если он существует),
взятых по всем элементам разбиения, при условиях, что максимум диаметров
этих элементов стремится к нулю и что он не зависит от выбора точек Mi,
наз.
площадью фигуры F. Фигура на поверхности, для к-рой этот предел существует,
наз. квадрируемои. Квадрируемыми являются кусочно гладкие ограниченные
полные двусторонние поверхности. П. всей поверхности слагается из П. составляющих
её частей. Аналитически П. фигуры F на поверхности, заданной уравнением
z
- f(x, у),
где функция f однозначна и имеет
непрерывные частные производные, может быть выражена следующим образом
Здесь G - замкнутая область, являющаяся
проекцией фигуры F на плоскость Оху, ds - элемент площади на поверхности.
Об обобщении понятия П. см. Мера множеств.
Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального
и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М.. 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический
анализ, т. 1-2, М., 1970; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического
анализа, 3 изд., ч. 1-2, М., 1971-73.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я