ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕОРИЯ

ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕОРИЯ раздел дифференциальной
геометрии, в к-ром изучаются свойства поверхностей (см. Дифференциальная
геометрия, Поверхность). В классич. П. т. рассматриваются свойства
поверхностей, неизменные при движениях. Одна из осн. задач классич. П.
т. - задача измерений на поверхности. Совокупность фактов, получаемых при
помощи измерений на поверхности, составляет внутреннюю геометрию поверхности.
К внутр. геометрии поверхности относятся такие понятия, как длина линии,
угол между двумя направлениями, площадь области, а также геодезические
линии, геодезии, кривизна линии и др. Внутр. геометрию определяет первая
осн. квадратичная форма поверхности

радиус-вектор переменной точки поверхности,
и,
v - её криволинейные координаты], выражающая квадрат дифференциала
дуги линии на поверхности. Именно, если известны функции Е = E(u,v),
F = F(u,v), G = G(u,v), то, зная внутр. уравнения линии и
=
u(t),
v = v(t) и интегрируя ds, можно определить длину этой
линии; кроме того, существуют формулы, к-рые при данных Е, F, G
выражают угол между двумя линиями и площадь области по внутр. уравнениям
этих линий и по внутр. уравнению контура области. Изучение пространственного
строения окрестности точки на поверхности производится при помощи второй
осн. квадратичной формы поверхности

- единичный вектор нормали к поверхности.
Величина h с точностью до малых более высокого порядка относительно
du,
dv равна расстоянию от точки М' поверхности с координатами
и
+ du, v + dv до касательной плоскости у в точке М с координатами
и,
v, причём расстояние берётся со знаком + или -в зависимости от того,
с какой стороны от у расположена точка М'. Если форма (2) знакоопределённая,
то поверхность в достаточно малой окрестности точки
М располагается
по одну сторону от касательной плоскости -у, и в этом случае точка М
поверхности
наз. эллиптической (рис. 1). Если форма (2) знакопеременная, то поверхность
в окрестности точки М располагается по разные стороны от плоскости
ч, и точка М тогда наз. гиперболической (рис. 2). Если форма (2) знакоопределённая,
но принимает нулевые значения (при не равных одновременно нулю du и
dv),
то точка М
наз. параболической (на рис. 3 показан один из примеров
строения поверхности в окрестности па-раболич. точки).

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Более точная характеристика пространственной
формы поверхности может быть получена с помощью исследования гео-метрич.
свойств линий на поверхности. Пусть М - нек-рая точка поверхности
S и и - единичный вектор нормали к поверхности в М. Линия (L) пересечения
S с плоскостью, проходящей через п в на-

дои кривизны в данной точке наз. главными
кривизнами, а соответствующие направления на поверхности -главными направлен
и я-м и. Кривизна произвольного нормального сечения в данной точке связана
простым соотношением с гл. кривизнами (см. Эйлера формулы). Если
гл. кривизны в точке М различны, то в этой точке существуют два
различных гл. направления. Линии, направления к-рых в каждой точке являются
главными, наз. линиями кривизны. Направления, в к-рых нормальная кривизна
равна нулю, наз. асимптотическими, а линии, имеющие в каждой точке асимптотич.
направление, - асимптотическими линиями. Поверхность, состоящая из эллиптич.
точек (напр., сфера), не имеет асимптотич. линий. Поверхность, состоящая
из гиперболич. точек, имеет два семейства асимптотич. линий (напр., две
системы прямолинейных образующих однополостного гиперболоида). Поверхность,
состоящая из парабо-лич. точек, имеет одну систему асимптотич. линий -
систему прямолинейных образующих. Дальнейшее изучение свойств произвольных
линий на поверхности (в первую очередь кривизн линий) тесно связано с кривизнами
нормальных сечений. Кривизна k в данной точке М произвольной
линии Г может быть вычислена по формуле:

где Rn - кривизна нормального сечения
L
в
точке М в направлении касательной к Г, а в - угол между гл.
нормалями к Г и L в этой точке (см. Мёнъе теорема).
Поверхности,
.между точками к-рых можно установить такое взаимно однозначное соответствие,
что длины соответствующих линий равны, наз. и з о м е т-р и ч н ы м и.
Изометричные поверхности имеют одинаковую внутр. геометрию, но их пространственное
строение может быть различным и гл. кривизны в соответствующих точках у
них могут быть также различными (напр., окрестность точки на плоскости
изометрична нек-рой окрестности точки на цилиндре, но имеет иную пространственную
структуру). Однако произведение К гл. кривизн 1/Rи
1/Rв точке М не меняется при изометричных преобразованиях
поверхности (теорема Гаусса, 1826) и может служить внутр. мерой искривлённости
поверхности в данной точке. Величина X наз. полной (или гауссовой) кривизной
поверхности в точке М и выражается соотношением:

к-рое наз. формулой Гаусса (полная кривизна
в соответствии с теоремой Гаусса может быть выражена только через коэффициенты
первой квадратичной формы и их производные). Приведённая выше классификация
точек регулярной поверхности может быть сопоставлена со значениями полной
кривизны: в эллиптич. точке кривизна положительна, в гиперболической -
отрицательна и в параболической - равна нулю.

Во мн. вопросах П. т. рассматривается др.
характеристика искривлённости поверхности -т. н. средняя криви з-н а, равная
полусумме гл. кривизн поверхности. Так, напр., одним из объектов исследований
П. т. являются минимальные поверхности, ср. кривизна к-рых в каждой
точке равна нулю.

Важное значение в П. т. имеет вопрос о
возможности изгибания поверхности: можно ли утверждать, что данная
поверхность будет изгибаемой? Математически этот вопрос формулируется след,
образом: возможно ли включить данную регулярную поверхность в однопараметрич.
семейство изометричных неконгруэнтных регулярных поверхностей (конгруэнтные
поверхности - поверхности, совмещаемые движением). Достаточно малые куски
поверхностей положительной и отрицательной кривизны допускают непрерывные
изгибания. Существуют поверхности с точкой уплощения (т. е. точкой, где
все нормальные кривизны равны нулю), сколь угодно малая окрестность к-рой
не допускает изгибания. Последний результат установлен сов. геометром Н.
В. Ефимовым. Кроме самой возможности изгибания, рассматриваются и изгибания
спец. типов.

Задача изгибания поверхностей тесно связана
с задачей определения поверхности по заданным осн. квадратичным формам,
получившей полное решение в работах нем. математика К. Гаусса, рус. математика
К. М. Петерсона, итал. математиков Г. Майнарди и Д. Кодацци и франц. математика
О. Бонне. Поскольку значение полной кривизны К поверхности может
быть выражено через коэффициенты первой квадратичной формы, то уравнение
(3) является одним из соотношений, связывающих коэффициенты первой (1)
и второй (2) форм. Другие два соотношения

волы второго рода) были установлены
в 1853 К. М. Петерсоном. Справедливо и обратное утверждение - если
коэффициенты двух форм, одна из к-рых положительно-определённая, удовлетворяют
уравнениям (3) и (4), то существует определённая с точностью до движения
и зеркального отражения поверхность, для к-рой указанные формы будут первой
и второй квадратичными формами.

К числу наиболее важных проблем П. т. относится
проблема разыскания признаков, к-рые позволяют по заданным двум осн. квадратичным
формам поверхности (в произвольных координатах) установить, относится ли
поверхность к данному классу поверхностей или нет. Для решения этой общей
проблемы, как и мн. др. проблем П. т., используются методы тензорного
исчисления.

С нач. 20 в. в П. т. появляется новое направление,
в к-ром исследуется поверхность "в целом" по данным свойствам окрестностей
её точек. Напр., Л. Г. Шни-рельманом и Л. А. Люстерником было
доказано существование трёх замкнутых геодезических на регулярных замкнутых
поверхностях, гомеоморфных сфере. Продолжение гладких поверхностей иногда
приводит к появлению на них особенностей. Напр., всякая развёртывающаяся
поверхность, не являющаяся цилиндрической, при продолжении доходит до ребра
(или острия в случае конуса). Рассмотрение поверхностей во всём их протяжении
и с особенностями (т. е. отказ от требований дифференцируемое) потребовало
изобретения принципиально новых методов исследования поверхностей и привлечения
методов из др. разделов математики. Развитие П. т. в этом направлении привело
к созданию содержательных разделов геометрии. Так, напр., глубокие и принципиально
новые результаты были получены А. Д. Александровым и А. В. Погореловым
в
теории выпуклых поверхностей. Александровым был предложен новый метод исследования
выпуклых поверхностей, основанный на приближении выпуклых поверхностей
выпуклыми многогранниками.

Рассмотренные свойства поверхностей не
меняются при любых изометрич. преобразованиях всего пространства, т.е.
они относятся к т. н. метрической П. т. Изучают также свойства поверхностей,
инвариантные по отношению к к.-л. другой группе преобразований пространства,
напр, группе аффинных или проективных преобразований. Аффинная П. т. рассматривает
свойства поверхностей, неизменные при эквпаффинных преобразованиях (аффинных
преобразованиях, сохраняющих объём). Проективная П. т. рассматривает проективно-инвариантные
свойства поверхностей.

Лит.: Р а ш е в с к и й П. К., Курс
дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956; Н о р д е н А. П., Теория
поверхностей, М., 1956; ПогореловА. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд.,
М., 1969; Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении,
ч. 1 - 2, М.- Л., 1947-48; Бляшке В., Дифференциальная геометрия и геометрические
основы теории относительности Эйнштейна, пер. с нем., т. 1, М.- Л., 1935;
Александров А.Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.- Л., 1948;
ПогореловА. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969; Фиников
С. П., Проективно-дифференцпальная геометрия, М.- Л., 1937; Широков П.
А.,Широков А. П., Аффинная дифференциальная геометрия, М., 1959; В 1 a
s с h k e W., Vorlesungen iiber Differentialge9metrie, Bd 2, В., 1923;
Bi.an-c h i L., Lezioni di geometria differenziale, 3 ed., t. 1-2, Bologna,
1937; D a r b о u x G., Lecons sur la theorie generate des surfaces, 2
ed., t, 1-4, P., 1924-25. Э. Г. Позняк.