ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ

ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ интеграл
от функции, заданной на к.-л. поверхности. К П. и. приводит, напр., задача
вычисления массы, распределённой по поверхности S с переменной поверхностной
плотностью f(M). Для этого разбивают поверхность на части s,
s..., sMЕсли
эти части достаточно малы, то их массы приближённо равны f(Mi)si,
а
масса всей поверхности будет

где предел берётся при условии, что размеры
всех частей s (и их площади) стремятся к нулю. К аналогичным пределам приводят
и другие задачи физики. Эти пределы наз. П. и. первого рода от функции
f(M)
по
поверхности S и обозначают

Их вычисление приводится к вычислению двойных
интегралов (см. Кратный интеграл).

В нек-рых задачах физики, напр, при определении
потока жидкости через поверхность S, встречаются пределы аналогичных
сумм с той лишь разницей, что вместо площадей самих частей стоят площади
их проекций на три координатные плоскости. При этом поверхность S предполагается
ориентированной (т. е. указано, какое из направлений нормалей считается
положительным) и площадь проекции берётся со знаком + или -в зависимости
от того, является ли угол между положительным направлением нормали и осью,
перпендикулярной плоскости проекций, острым или тупым. Пределы сумм такого
вида наз. П. и. второго рода (или П. и. по проекциям) и обозначают

В отличие от П. и. первого рода, знак П.
и. второго рода зависит от ориентации поверхности S.

М. В. Остроградский установил важную
формулу, связывающую П. и. второго рода по замкнутой поверхности S с тройным
интегралом по ограниченному ею объёму V (см. Остроградского формула).
Из
этой формулы следует, что если функции Р, Q, R имеют непрерывные
частные производные и в объёме V выполняется тождество

то П. и. второго рода по всем поверхностям,
содержащимся в V и имеющим один и тот же контур, равны между собой.
В этом случае можно найти такие функции Pчто

Стокса формула выражает криволинейный
интеграл по замкнутому контуру через П. и. второго рода по ограниченной
этим контуром поверхности.

Лит.: Никольский С. М., Курс математического
анализа, т. 2, М., 1973; Ильин В. А.,Позняк Э. Г., Основы математического
анализа, ч. 2, М., 1973; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд.,
т. 2, М., 1973.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я