ПОВЕРХНОСТЬ
одно из основных геометрич.
понятий. При логич. уточнении этого понятия в разных отделах геометрии
ему придаётся различный смысл.
1) В школьном курсе геометрии рассматриваются
плоскости, многогранники, а также нек-рые кривые поверхности. Каждая из
кривых П. определяется специальным способом, чаще всего как множество точек,
удовлетворяющих нек-рым условиям. Напр., П. шара - множество точек, отстоящих
на заданном расстоянии от данной точки. Понятие "П." лишь поясняется, а
не определяется. Напр., говорят, что П. есть граница тела или след движущейся
линии.
2) Математически строгое определение П.
основывается на понятиях топологии. При этом основным является понятие
простой поверхности, к-рую можно представить как кусок плоскости, подвергнутый
непрерывным деформациям (растяжениям, сжатиям и изгибаниям). Более точно,
простой П. наз. образ гомеоморфного отображения (т. е. взаимно однозначного
и взаимно непрерывного отображения) внутренности квадрата (см. Гомеоморфизм).
Этому
определению можно дать аналитическое выражение. Пусть на плоскости с прямоугольной
системой координат и и v задан квадрат, координаты внутренних
точек к-рого удовлетворяют неравенствам 0 < u < 1, 0<v<l.
Гомеоморф-ный
образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х,
у, z задаётся при помощи формул
примером простои 11. является полусфера.
Вся же сфера не является простой П. Это вызывает необходимость дальнейшего
обобщения понятия П. Поверхность, окрестность каждой точки к-рой есть простая
П., наз. правильной. С точки зрения топологич. строения, П. как двумерные
многообразия разделяются на неск. типов: замкнутые и открытые, ориентируемые
и неориентируемые и т. д. (см. Многообразие).
В дифференциальной геометрии исследуемые
П. обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов
дифференциального исчисления. Как правило, это - условия гладкости П.,
т. е. существования в каждой точке П. определённой касательной плоскости,
кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функ-
лагаются однократно, дважды, трижды, а
в нек-рых вопросах - неограниченное число раз дифференцируемыми или даже
аналитическими функциями. Кроме того, требуется, чтобы в каждой точке хотя
бы один из определителей
был отличен от нуля (см. Поверхностей
теория).
В аналитич. геометрии и в алгебраич. геометрии
П. определяется как множество точек, координаты к-рых удовлетворяют определённому
виду уравнений:
Таким образом, определённая П. может и
не иметь наглядного геометрич. образа. В этом случае для сохранения общности
говорят о мнимых П. Напр., уравнение
определяет мнимую сферу, хотя в действительном
пространстве нет ни одной точки, координаты к-рой удовлетворяют такому
уравнению (см. также Поверхности второго порядка). Если функция
хотя бы одна не обращается в нуль, то в
окрестности этой точки П., заданная уравнением (*), будет правильной.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я