ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ экспоненциальная
функция, важная элементарная функция



обозначается иногда expz; встречается
в мно-гочисл. приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого
значения z (действительного или комплексного) П. ф. определяется соотношением



каков бы ни был показатель п. Функцией,
обратной по отношению к П. ф., является логарифмическая функция: если
w
= е^Z, то z = lnw.

Рассматривается также П. ф. а^zпри
основаниях а>0, отличных от е [напр., в школьном курсе математики
для действительных значений z = x рассматриваются П. ф. 2^x,(1/2)^x
и т. д.]. П. ф. а^z связана с П. ф. е^z (основной)
соотношением

П. ф. е^x является целой
трансцендентной
функцией. Она допускает след, разложение в степенной ряд:



сходящийся во всей плоскости z. Равенство
(1) также может служить определением П. ф.

Полагая z = х + iу, Л. Эйлер
получил
(1748) формулу:

е^z = е^x+iу =
е^x(cos
у
+ i sin у), (2) связывающую П. ф. с тригонометрическими функциями.
Из неё вытекают соотношения:



наз. гиперболическими функциями, обладают
рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрич. функций, и играют наряду
с последними важную роль в различных приложениях математики.

Из соотношения (2) следует, что П. ф. (комплексного
переменного z) имеет период 2пi, то есть е^z+2пi = е^zили
е^2пi = 1. Производная П. ф. равна самой функции: (е^z)'
=
е^z'.

Указанными свойствами П. ф. определяются
её многочисл. приложения. В частности, П. ф. выражает закон (т. н. закон
естественного роста), определяющий течение процессов, скорость к-рых пропорциональна
наличному значению изменяющейся величины; примером могут служить химические
мономолекулярные реакции или, при известных условиях, рост колонии бактерий.
Периодичность П. ф. комплексного переменного наряду с другими её свойствами
является причиной, по к-рой эта функция играет исключительно важную роль
при изучении всяких периодич. процессов, в частности колебаний и распространения
волн.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я