ПОЛНОЕ ПРОСТРАНСТВО

ПОЛНОЕ ПРОСТРАНСТВО метрическое
пространство, в к-ром выполнен признак сходимости Коши. Последовательность
точек xна прямой, в плоскости
или пространстве наз. фундаментальной, если при достаточно больших номерах
п
и
т расстояние между точками хи хстановится
сколь угодно малым. Для того чтобы последовательность точек имела предел,
необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной (признак Коши).
Для многих совокупностей матем. объектов (функций, операторов и т. д.)
можно ввести понятие расстояния, обладающее свойствами, аналогичными свойствам
обычного расстояния. Тогда говорят, что эта совокупность является метрич.
пространством. В метрич. пространстве можно обычным образом определить
понятие предела последовательности точек. Если при этом имеет место признак
Коши, то пространство наз. полным. Примерами П. п. служат евклидовы и многие
другие линейные пространства, в частности пространство непрерывных
функций на отрезке [а, b] с расстоянием



и гильбертово пространство. Замкнутое
подмножество П. п. является П. п. Если метрич. пространство неполно, то
его можно пополнить до П. п., аналогично тому, как пополняется множество
рациональных чисел иррациональными до совокупности всех действительных
чисел. Понятие полноты обобщается и на те неметрические топологич. пространства,
в к-рых можно сравнивать окрестности различных точек (напр., на топологич.
группы, кольца и т. д.).