ПОЛЯ ТЕОРИЯ
математическая теория,
изучающая свойства скалярных, векторных (в общем случае - тензорных) полей,
т. е. областей пространства (или плоскости), каждой точке М к-рых
поставлено в соответствие число и(М) (напр., темп-pa, давление,
плотность, магнитная проницаемость) или вектор а(М) (напр., скорость
частицы текущей жидкости, напряжённость силового поля, в частности электрического
или магнитного поля) или тензор (напр., напряжение в точке упругого тела,
проводимость в анизотропном теле). Осн. аппаратом П. т. является векторный
и тензорный анализ (см. Векторное исчисление, Тензорное исчисление).
Многие понятия дифференциального и интегрального
исчисления функций нескольких переменных переносятся в П. т. Среди них
важное значение для описания скалярных полей имеет производная по направлению
максимального изменения скалярного поля - т. н. градиент - вектор,
инвариантный относительно выбора системы координат. Изменения векторного
поля в 1-м приближении характеризуются двумя величинами: скаляром, наз.
дивергенцией
(или
расхождением) поля, к-рый характеризует изменение интенсивности (плотности)
поля, и вектором, наз. вихрем (или ротором) поля, к-рый представляет
собой векторную характеристику "вращательной составляющей" векторного поля
(его "скручивание"). Операцию перехода от скалярного поля к его градиенту
и операцию перехода от векторного поля к его дивергенции часто обозначают
Гамильтона
оператором. Градиент скалярного поля, дивергенция и вихрь векторного
поля обычно наз. основными дифференциальными операциями П. т. К ним иногда
относят операцию последовательного выполнения градиента и дивергенции,
к-рая обозначается Лапласа оператором. При применении осн. дифференциальных
операций к полям с определёнными видами симметрии (сферич., цилиндрич.
и др.) используют спец. виды криволинейных координат (полярные, цилиндрич.
и др.), что упрощает вычисления.
В П. т. используется ряд интегральных соотношений
и понятий, связывающих дифференцирование и интегрирование при изучении
частей (или в целом) полей. Так, потоком векторного поля через поверхность
наз. интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на
единичный вектор нормали к поверхности. Поток векторного поля связывается
с дивергенцией при помощи Остроградского формулы: поток векторного
поля через поверхность равен интегралу от дивергенции по объёму, ограниченному
этой поверхностью. Др. важной характеристикой векторных полей является
циркуляция
векторного
поля по замкнутому контуру - интеграл по контуру от скалярного произведения
векторного поля на единичный вектор касательной к контуру. Циркуляция вектора
по замкнутому контуру равна интегралу от вихря поля по любой поверхн-ости,
ограниченной данным контуром (Стокса формула).
По вихрю и дивергенции
различают потенциальные поля (rot
а = 0), соленоидальные (div а
= 0) и лапласо-вы (Дф = 0).
Лит. см. при статьях Векторное
исчисление, Тензорное исчисление. А. Б. Иванов.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я