ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ МЕТОД

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ МЕТОД метод
решения мате-матич. задач при помощи такой последовательности приближений,
к-рая сходится к решению и строится рекурреитно (т. е. каждое новое приближение
вычисляют, исходя из предыдущего; начальное приближение выбирается в достаточной
степени произвольно). П. п. м. применяется для приближённого нахождения
корней алгебраических и трансцендентных уравнений, для доказательства существования
решения и приближённого нахождения решений дифференциальных, интегральных
и интегро-дифферен-циальных уравнений, для качественной характеристики
решения и в ряде др. математич. задач.

1) Для решения уравнения

и в качестве начального приближения aвзято любое число.

Обычно, когда надо найти приближённое значение
корня уравнения, устанавливают достаточно узкий интервал, в к-ром лежит
корень (напр., с помощью графич. методов); затем подбирают k так,
чтобы условие (2) выполнялось на всём интервале; за начальное приближение
йо выбирают любое число из этого интервала и применяют П. п. м. Практически,
после того как два последовательных приближения aи
асовпадут
с заданной степенью точности, вы-

a0,570, адесятичными знаками равен а

2) П. п. м. применяют для приближённого
решения систем линейных алгебраич. уравнений с большим числом неизвестных.

Пусть дана система трёх уравнений с тремя
неизвестными:

пределы а, р, у заведомо существуют, каковы
бы ни были начальные приближения х, z,
если, напр., в каждом уравнении системы (4) сумма абсолютных величин коэффициентов
cменьше
единицы.

3) Для того чтобы найти решение y=y(х)
дифференциального
уравнения

составляют последовательность функций ууЕсли она равномерно
сходится, то предел её будет искомым решением.

4) Чтобы найти решение первой краевой задачи
для уравнения

выбирают произвольную дважды дифференцируемую
функцию u(x, у) и составляют затем линейное уравнение

Пусть ирешение
первой краевой задачи для уравнения (5); считая ипервым
приближением, составляют уравнения типа (5) для последующих приближений.
Полученная последовательность (ипри нек-рых
предположениях сходится и даёт решение задачи.

О применимости П. п. м. см. статью Сжатых
отображений принцип.