ПОТЕНЦИАЛ

ПОТЕНЦИАЛ потенциальная функция,
понятие, характеризующее широкий класс физич. силовых полей (электрическое,
гравитационное и т. п.) и вообще поля физич. величин, представляемых векторами
(поле скоростей в жидкости и т. п.). В электростатич. поле П. вводится
как вспомогательная функция, пространственные производные к-рой -компоненты
напряжённости электрич. поля в данной точке; в гидродинамике -компоненты
скорости в данной точке и т. п. При этом П. в ряде случаев имеет и др.
важный физич. смысл. Так, в электростатическом поле он численно равен энергии,
необходимой для удаления единичного положительного заряда из данной точки
в бесконечность (с обратным знаком).

В общем случае П. векторного поля а(х,
у, z) - скалярная функция и(х, у. z),

поненты поля а в системе декартовых
координат Oxyz. Если такую функцию можно ввести, то векторное поле
а
наз.
потенциальным. Иногда П. наз. функцию U = - и (напр., в электростатике).
П. векторного поля а определяется не однозначно, а с точностью до
постоянного слагаемого. Поэтому при изучении потенциального поля представляют
интерес лишь разности П. в различных точках поля. Ур-ние
и(х, у, z)
= = с геометрически представляет поверхность, во всех точках
к-рой П. имеет одинаковую величину; такие поверхности наз. поверхностями
уровня, или эквипотенциальными поверхностями.

Для поля тяготения, образованного по-

G - постоянная тяготения. При наложении
полей их П. алгебраически складываются. Если поле тяготения обусловлено
нек-рой массой плотности р (Е, ц, Е), занимающей объём
Т,
то
его можно рассматривать как результат наложения элементарных полей, образованных
бесконечно малыми телами массы pdЕdц\dЕ. Ньютонов П. такого поля
представляется интегралом

П. и(х, у, z) - непрерывная функция
во всём пространстве вместе со своими частными производными 1-го порядка;
вне тела объёма Т функция и(х, у, z) удовлетворяет Лапласа
уравнению, внутри -Пуассона уравнению.

Если притягивающие массы распределены с
плотностью РПОВ по поверхности S (простой с л о и), то П. образованного
ими поля выражается интегралом

П. простого слоя v(x, у, z) - непрерывная
во всём пространстве функция; при пересечении поверхности S нормальная
производная функции v (x, у, г) испытывает разрыв, равный 4пG/рНеограниченно сближая две поверхности, на к-рых расположены простые слои
с плотностями ррувеличивая рпредел lim nрп - нормальное расстояние
между поверхностями, приходят к понятию П. двойного слоя:

П. двойного слоя w (х, у, z) - непрерывная
функция во всём пространстве вне S; при пересечении поверхности S функция
w
(х, у, z) испытывает разрыв, равный 4 лОц. Функции v (х, у, z) и
w
(х, у, z) удовлетворяют уравнению Лапласа.

Если тело объёма Т - бесконечный
цилиндр с поперечным сечением D и плотность р вещества цилиндра постоянна
вдоль каждой прямой, параллельной образующим цилиндра, то формула (2) приводит
к понятию логарифмического потенциала:

В виде суммы П. простого и двойного слоев
может быть представлена любая гармоническая функция, этим объясняется
важность теории П.

Лит.: Гюнтер Н. М., Теория потенциала
и её применение к основным задачам математической физики, М., 1953; Сретенский
Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, М.- Л., 1946; Тамм И. Е., Основы
теории электричества, 7 изд., М., 1957; Идельсон Н. И., Теория потенциала
с приложениями к теории фигуры Земли и геофизике, 2 изд., Л. - М., 1936.
В.
И. Битюцков.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я