ПРЕДЕЛ

ПРЕДЕЛ одно из осн. понятий математики.
П.- постоянная, к к-рой неограниченно приближается нек-рая переменная величина,
зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней.
Простейшим является понятие П. числовой последовательности, с помощью к-рого
могут быть определены понятия П. функции, П. последовательности точек пространства,
П. интегральных сумм.



Предел последовательности. Пусть
задана последовательность действит. чисел х= 1,
2, . . . Число а называется пределом этой последовательности, если
для любого числа е>0 существует такой номер nномеров п>=пвыполняется неравенство \ха|<е.
В этом случае пишется

(lim - первые буквы латинского слова limes),
или

Если последовательность имеет П., то говорят,
что она сходится. Так, последовательность 1/n, n = 1,2,..., сходится и
имеет своим П. число 0. Не всякая последовательность имеет П., напр, последовательность
1, -1, 1, . . ., (-1)ⁿ⁺¹, ... не имеет П. Последовательность,
не имеющая П., наз. расходящейся. На геометрич. языке существование у последовательности
П., равного а, означает, что каждая окрестность точки а содержит
все члены данной последовательности, за исключением, быть может, их конечного
числа.

Для П. последовательностей имеют место
формулы

Эти формулы справедливы в предположении,
что П., стоящие в их правых частях, существуют, причём в формуле для П.
частного хнадо ещё допол-

т. е. при предельных переходах нестрогие
неравенства сохраняются (но из x

Последовательность а,
и = 1, 2, . . ., сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой. Последовательность
сходится к к.-л. числу тогда и только тогда, когда разность между членами
последовательности и этим числом является бесконечно малой последовательностью
(т. о., общее понятие П. последовательности сводится к понятию бесконечно
малой). Так, напр., последовательность ⁴/2/³/...,n/(n+1),...

имеет своим П. единицу, поскольку разность
1-n/(n+l) = l/(n+l), и = 1, 2,... является бесконечно, малой последовательностью.

Всякая возрастающая (убывающая) последовательность,
ограниченная сверху (соответственно снизу), сходится. Напр., если для заданного
числа а обозначить чеоез аппиближённое значение
его

возрастающей ограниченной сверху последовательности
является последовательность длин периметров правильных многоугольников,
вписанных в данную окружность, к длине к-рой сходится эта последовательность.

Для того чтобы сходилась произвольная последовательность
хнеобходимо
и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Кош и: для любого числа
е>0 существует такой номер Nчто для всех номеров m>=Ne
и n>=Nх|<е.

Если последовательность хи
= 1,2,..., такова, что для числа e>0 существует такой номер пчто
для всех номеров n>=n выполняется неравенство |x|>е,
то последовательность хназ. бесконечно большой и пишется

Если же при этом для любого е>0 существует
такой номер nхе (соответственно хе)
для всех nn

собой разумеется, что бесконечно большие
последовательности не являются сходящимися в смысле данного выше определения
этого понятия. На бесконечные П. переносятся далеко не все свойства конечных
П. Напр., последовательности хи ysin [(nп)/2 -n] бесконечно большие, а последовательность x
+ yn = 1, 2, ..., ограниченная и к тому же расходящаяся.

Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
П. (конечный и бесконечный) к.-л. подпоследовательности наз. частичным
пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить
сходящуюся подпоследовательность (теорема Больца-но - Вейерштрасса), а
из всякой неограниченной - бесконечно большую. В множестве всех частичных
П. последовательности всегда имеется как наибольший, так и наименьший (конечный
или бесконечный). Наибольший (соответственно наименьший) частичный П. последовательности
хп = 1, 2, ..., наз. её верхним (соответственно нижним)

Последовательность имеет конечный или бесконечный
П. тогда и только тогда, когда её верхний П. совпадает с нижним, при этом
их общее значение и является её П. Конечный верхний П. последовательности
можно также определить как такое число а, что при любом б>0 существует
бесконечно много членов последовательности, больших, чем а-е, и
лишь не более, чем конечное число членов, больших, чем а + е.

Предел функции. Пусть функция f, принимающая
действит. значения, определена в нек-рой окрестности точки х,
кроме,
быть может, самой точки х. Функция
f имеет
П. в точке х, если для любой последовательности точек
хn = 1, 2, . . ., xне= x,
стремящейся
к точке х, последовательность значений функции
f(xсходится к одному и тому же числу А, к-рое и наз. пределом функции
f в точке хх->x),
при
этом пишется

В силу этого определения на П. функций
переносятся свойства П. суммы, произведения и частного последовательностей,
а также сохранение неравенств при предельном переходе.

Определение П. функции можно сформулировать
и не прибегая к понятию П. последовательности: число А наз. пределом
функции f в точке x0 существует
такое число б>0, что для всех точек х не= худовлетворяющих
условию |х-xх не= х, выполняется
неравенство |t(x)-A\<e.

Все основные элементарные функции: постоянные,
степенная
функция х^a, показательная функция а^x, тригонометрические
функции sin х, cos х, tg х и ctg х и обратные
тригонометрические функции arc sin х,
arc cos х, arc
tg x и arc ctg x во всех внутренних точках своих областей
определения имеют П., совпадающие с их значениями в этих точках. Но это
не всегда бывает так. Функция

являющаяся суммой бесконечной гео-метрич.
прогрессии со знаменателем q = l/(l + x²), 0<<7<1,
в точке х = 0 имеет П., равный 1, ибо /(*)=1 + лг² при
хО.
Этот
П. не совпадает со значением функции f в нуле:
f(0)-Q.
Функция
же

Примером функций, всегда имеющих П., являются
монотонные
функции. Так, если функция f определена на интервале
(а,
b) н не убывает, то в каждой точке х, а<х<b, она имеет
конечный П. как слева, так и справа; в точке а П. справа, к-рый
конечен тогда и только тогда, когда функция f ограничена снизу,
а в точке b П. слева, конечный в том и только в том случае, когда
функция ограничена сверху. В общем же случае стремление к П. может носить
разный, необязательно монотонный характер. Напр.,

мится к нулю, бесконечное число раз переходя
от возрастания к убыванию и обратно.

Т. н. внутренний критерий (критерий К о
ш и) существования П. функции в точке состоит в следующем: функция f
имеет в точке x П. в том и только

означает, что для любого е>0 существует
такое б>0, что для всех х, удовлетворяющих условию х<-б, выполняется
неравенство f(x)>е.

Расширение понятия предела функции. Если
функция f определена на нек-ром множестве Е числовой прямой
и точка х такова, что в любой её окрестности имеются
точки множества Е, то аналогично данному выше определению П. функции,
заданной в нек-рой окрестности точки х, кроме,
быть может, самой точки х, определяется понятие
предела функции по множеству Е

для этого следует лишь в определении П.
всегда дополнительно требовать, чтобы точка х принадлежала множеству
Е
: х ПРИНАДЛЕЖИТ Е. П. последовательности х= 1, 2, ..., является при таком определении понятия П. частным случаем
П. функции по множеству, а именно функции f, определённой на множестве
натуральных чисел п формулой f(n)=x = 1, 2,
... .

Функция, равная нулю при рациональных х
и
единице при иррациональных, не имеет П. при x->0, однако по множеству рациональных
чисел она при x->0 имеет П., равный нулю. Понятие П. числовой функции по
множеству переносится и на функции многих переменных. В этом случае можно
говорить, в частности, о П. в данном направлении, о П. по данной кривой,
по данной поверхности и т. д. Кроме того, для функций многих переменных
возникает понятие повторного предела, когда предельный переход совершается
последовательно по разным

Распространяется понятие П. и на функции,
к-рые могут принимать не только действительные, но и комплексные значения.

Предел интегральных сумм. Ещё одно важное
понятие П. возникает при определении интеграла. Пусть, напр., функция
f
определена
на отрезке [а, b]. Совокупность {xi} таких точек xi, что

суммой функции f. Число А является
пределом интегральных сумм и наз. определённым интегралом:

Понятие П. интегральных сумм может быть
введено и с помощью П. последовательности.



Обобщения понятия предела. Ввиду
разнообразия употребляемых в математике спец. видов понятия П. естественно
возникло стремление включить их как частный случай в то или иное общее
понятие П. Напр., можно ввести понятие П., обобщающее как понятие П. функции,
так и понятие П. интегральных сумм. Система S непустых подмножеств некоторого
множества Е наз. направлением, если для каждых двух подмножеств
А
и В этой системы выполняется одно из включений Лей или ВсЛ и пересечение
всех множеств из S пусто. Пусть на множестве Е задана числовая функция
f.
Число
а наз. пределом функции f по направлению S, если для любого
е>0 существует такое множество А из S, что во всех его точках выполняется
неравенство |f(x)-а|<е. При определении П. функции
f в
точке хза направление следует взять совокупность всех
окрестностей этой точки с достаточно малыми радиусами за вычетом самой
точки хПри определении П. интегральных сумм функции
f,
заданной на отрезке [a, b], следует рассмотреть множество Е,
элементами
к-рого являются всевозможные разбиения отрезка [а, b] с выбранными
в них точками RЕмножества
Е,
отвечающие разбиениям, длины Дxi отрезков к-рых не превышаютт),
образуют направление. П. интегральных сумм (к-рые, очевидно, являются функциями,
определёнными на множестве Е) по указанному направлению является
интеграл.

Понятие П. обобщается на более широкие
классы функций, напр. на функции, заданные на частично упорядоченных множествах,
или на функции, являющиеся отображениями одного пространства (метрического
или, более общо, топологического) на другое. Наиболее полно задача определения
П. решается в топологии и означает в общем случае, что нек-рый объект,
обозначенный f(x), меняющийся при изменении др. объекта, обозначенного
через х, при достаточно близком приближении объекта х к объекту
хсколь
угодно близко приближается к объекту А. Основным в такого рода понятиях
П. является понятие близости объектов х и
хи А, к-рые нуждаются в математич. определении. Только после
того как это будет сделано, высказанному определению П. можно будет придать
чёткий смысл и оно станет содержательным. Различные понятия близости и
изучаются, в частности, в топологии.

Встречаются, однако, понятия П. др. природы,
не связанные с топологией, напр. понятие П. последовательности множеств.
Последовательность множеств An, n = 1, 2, ..., наз. сходящейся,
если существует такое множество А, наз. её пределом, что каждая
его точка принадлежит всем множествам Аначиная с нек-рого
номера, и каждая точка из объединения всех множеств Ане
принадлежащая Л, принадлежит лишь конечному числу А„.



Историческая справка. К понятию
П. вплотную подошли ещё др.-греч. учёные при вычислении площадей и объёмов
нек-рых фигур и тел с помощью исчерпывания метода. Так, Архимед,
рассматривая
последовательности вписанных и описанных ступенчатых фигур и тел, с помощью
метода исчерпывания доказывал, что разность между их площадями (соответственно
объёмами) может быть сделана меньше любой наперёд заданной положит. величины.
Включая в себя представление о бесконечно малых, метод исчерпывания являлся
зародышем теории П. Однако в явном виде в др.-греч. математике понятие
П. не было сформулировано, не было создано и к.-л. основ общей теории.

Новый этап в развитии понятия П. наступил
в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Г. Галилей,
И.
Кеплер,
Б. Кавальеры, Б. Паскаль и др. широко используют при
вычислении площадей и объёмов "неделимых" метод, метод актуальных
бесконечно малых, т. е. таких бесконечно малых, к-рые, по их представлению,
являются неизменными величинами, не равными нулю и вместе с тем меньшими
по абсолютной величине любых положит. конечных величин. Продолжает в этот
период применяться и развиваться и метод исчерпывания
(Григорий из
Сен-Винцента, П. Гулъдин, X. Гюйгенс и др.). На основе интуитивного
понятия П. появляются попытки создать общую теорию П. Так, И. Ньютон
первый
отдел первой книги ("О движении тел") своего труда "Математические начала
натуральной философии" посвящает своеобразной теории П. под назв. "Метод
первых и последних отношений", к-рую он берёт за основу своего флюксий
исчисления. В этой теории Ньютон взамен актуальных бесконечно малых
предлагает концепцию "потенциальной" бесконечно малой, к-рая лишь в процессе
своего изменения становится по абсолютной величине меньше любой положит.
конечной величины. Точка зрения Ньютона была существенным шагом вперёд
в развитии представления о П. Понятие П., намечавшееся у математиков 17
в., в 18 в. постепенно всё больше анализировалось (Л. Эйлер, Ж.
Д'Аламбер,
Л. Карно, братья Бернулли
и др.) и уточнялось. В этот
период оно служило лишь для попыток объяснить правильность дифференциального
и интегрального исчисления и ещё не являлось методом разработки проблем
математич. анализа.

Совр. теория П. начала формироваться в
нач. 19 в. в связи с изучением свойств различных классов функций, прежде
всего непрерывных, а также в связи с попыткой доказательства существования
ряда осн. объектов математич. анализа (интегралов функций действительных
и комплексных переменных, сумм рядов, алгебраических корней и более общих
уравнений и т. п.). Впервые в работах О. Коши понятие П. стало основой
построения математич. анализа. Им были получены осн. признаки существования
П. последовательностей, осн. теоремы о

П. и, что очень важно, дан внутренний критерий
сходимости последовательности, носящий теперь его имя. Наконец, он определил
интеграл как П. интегральных сумм и изучил его свойства, исходя из этого
определения. Окончательно понятие П. последовательности и функции оформилось
на базе теории действит. числа в работах Б. Больцано и К. Вейерштрасса.
Из
дальнейших обобщений понятия П. следует отметить понятия П., данные в работах
С. О. Шатуновского (опубл. в 1923), амер. математиков Э. Г. Мура
и Г. Л. Смита (1922) и франц. математика А. Картана (1937).

Лит.: А. лександров П. С., Введение
в общую теорию множеств и функций, М.- Л., 1948; Ильин В. А., Позняк Э.
Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1-2, М., 1971 - 73; Кудрявцев
Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1 - 2, М., 1970; Никольский С.
М., Курс математического анализа, т. 1 - 2, М., 1973; Смирнов В. И., Курс
высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967.

Л. Д. Кудрявцев.