ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ одно из осн. понятий
математики, возникающее при изучении соответствий между классами геометрич.
объектов, классами функций и т. п. Напр., при геометрич. исследованиях
часто приходится изменять все размеры фигур в одном и том же отношении,
увеличивать радиусы кругов на одну и ту же величину, вообще сопоставлять
фигурам к.-л. класса другие, получаемые из них по определённым правилам.
При решении дифференциальных ур-ний операционными методами (см. Операционное
исчисление) заменяют данные функции другими, преобразованными функциями,
и т. д. Такие соответствия и наз. П. Точнее, преобразованием называется
соответствие, в силу к-рого каждому элементу х некоторого множества
X сопоставляется вполне определённый элемент у нек-рого другого
множества У. Логически понятие П. совпадает с понятиями функция, отображение,
оператор. Термин "П." чаще употребляют в геометрии и функциональном

анализе, при этом обычно считают соответствие
между х и у - f(x) взаимно однозначным.



Геометрические преобразования. В
геометрии чаще всего рассматриваются точечные П., при к-рых каждой точке
нек-рого многообразия (линии, поверхности, пространства) ставится
в соответствие другая точка того же многообразия. Иными словами, точечное
П. является отображением многообразия на себя. При точечном П. каждая фигура
(прообраз), рассматриваемая как совокупность точек, преобразуется в новую
фигуру, называемую образом первоначальной. Если точечное П. взаимно однозначно,
то можно определить обратное П. (см. Отображение). Точечное П. наз.
тождественным, если при нём образ каждой точки совпадает с прообразом.
Если ограничиться для определённости точечными П. плоскости, то такие П.
могут быть заданы аналитически формулами: х' = f (х, у), у' = ф
(х,
у), где х, у - координаты прообраза, а х'. у' - координаты
образа в одной и той же системе координат.

Многие важные классы точечных П. образуют
группу,
т.
е. вместе с любыми двумя П. содержат их произведение (результат последовательного
применения), а вместе с каждым П. содержат обратное П. Наиболее важные
примеры групп точечных П. плоскости таковы:

1) группа вращений плоскости вокруг начала
координат:

где а - угол поворота.

2) Группа параллельных переносов, при к-рых
все точки смещаются на один и тот же вектор ai + bj:

3) Группа движений, состоящая из П., не
изменяющих расстояния между точками и ориентации плоскости:

См. также Движение в геометрии.

4) Группа движений и зеркальных отражений,
состоящая из П., не изменяющих расстояния между точками плоскости. Совокупность
движений и зеркальных отражений, совмещающих нек-рую фигуру с собой, наз.
группой симметрии этой фигуры. Эта группа определяет свойства симметрии
фигуры. Напр., группа симметрии правильного тетраэдра состоит из 4! = 24
П., переставляющих между собой его вершины.

5) Группа П. подобия, порождаемая П. движения,
зеркального отражения и гомотетии.

6) Группа аффинных П., состоящая из взаимно
однозначных отображений плоскости на себя, при к-рых прямые переходят в
прямые:

Если cП. наз. центро-аффинным, а если D = 1, то - экви-аффинным; экви-аффинные
П. не изменяют площади фигур. См. также Аффинные преобразования.

7) Группа проективных П., состоящая из
взаимно однозначных П. расширенной плоскости (дополненной бесконечно удалённой
прямой), при к-рых прямые линии переходят в прямые:

Из этой записи видно, что прямая ах
+ bу + с = 0 переходит при этом П. в бесконечно удалённую прямую. См.
также Проективное преобразование.

8) Группа круговых П. (или П. обратными
радиусами-векторами), порождаемая П. движения, зеркального отражения, подобия
и инверсий. Если точки плоскости изобразить комплексными числами,
то П. этой группы запишутся в виде:

Т. о., они совпадают с дробно-линейными
преобразованиями (см. Дробно-линейные функции). П. этой группы обладают
круговым свойством, т. е. переводят совокупность прямых и окружностей на
плоскости в себя. Они обладают также свойством конформности (см. Конформное
отображение).
П. плоскости, обладающее круговым свойством, принадлежит
всегда группе круговых П.

Группы 1-7 являются линейными группами,
т. к. они переводят прямые линии в прямые. При этом группы 1 и 2 являются
подгруппами группы 3, каждая следующая группа (4, 5, 6, 7) содержит в себе
предыдущую как часть. Группы 1-6 можно охарактеризовать как совокупность
проективных П., оставляющих неизменным нек-рый образ на расширенной плоскости.
Напр., аффинные П. являются П., оставляющими на месте бесконечно удалённую
прямую. Группа 8 является примером нелинейной группы, т. к. при П. этой
группы прямые линии могут перейти в окружности. П. групп 1-8 являются бирациональными
преобразованиями, т. е. такими П., при к-рых х' и у' рационально
выражаются через х и у и обратно.

Наряду с точечными П., при к-рых устанавливается
соответствие между точками, в геометрии применяются П. фигур, при к-рых
устанавливается соответствие между самими фигурами. Напр., в нек-рых задачах
геометрии заменяют все окружности окружностями же, увеличивая их радиус
на определённую величину. Этим определяется П. многообразия окружностей
в себя. Рассматриваются также П., изменяющие природу элементов, т. е. переводящие
точки в линии, линии в точки и т. д. Напр., можно поставить в соответствие
каждой точке М(х, у) прямую их' + vy' = 1, где и и
v - нек-рые функции от х и у. Если и и v дробно-линейно
зависят от х и у.

то имеет место общее проективное П. точек
плоскости в прямые плоскости. Если при этом bс = -а, сто получается полярное
П. относительно нек-рой линии второго порядка (см. Полюсы и поляры).
В
частности, когда и = х и т' = у, получается полярное
П. относительно окружности х² + у² = 1. При
этом каждой точке на плоскости (х,у) соответствует прямая на плоскости
(х',у').
Кривой
Г на плоскости (х, у) соответствует семейство прямых, касающихся
нек-рой кривой Г' (или проходящих через одну и ту же точку). Этим
устанавливается соответствие между кривыми плоскости
(х, у), рассматриваемыми
как множество своих точек, и кривыми плоскости
(х',у'),
рассматриваемыми
как огибающие своих касательных. Более общими являются П., задаваемые
формулой F(x,y,x',y') = 0. Если задать х
и у, то эта
формула определяет нек-рую кривую на плоскости (х',у'), а если задать
х'
и у', то определяется кривая на плоскости
(х,у). Этим
устанавливается соответствие точек одной плоскости двухпараметрич. множеству
кривых другой плоскости. Указанное соответствие можно распространить до
соответствия между кривыми одной плоскости, рассматриваемыми как множество
своих точек, и кривыми другой плоскости, рассматриваемыми как огибающие
соответствующего семейства кривых. При этом П. касающиеся друг друга кривые
одной плоскости переходят в касающиеся друг друга кривые другой плоскости.
Поэтому описанные П. наз. контактными П., или П. прикосновения (см. Прикосновения
преобразования).

Аналогично П. плоскости определяются П.
многомерных (в частности, трёхмерных) пространств. Для каждой из разобранных
выше групп П. плоскости имеется трёхмерный аналог, получающийся из неё
увеличением числа преобразуемых переменных. Так, группе 1 соответствует
группа ортогональных преобразований, группе центро-аффинных П.-
группа невырожденных линейных преобразований и т. д. Примером группы
П. четырёхмерного пространства является группа Лоренца (см. Лоренца
преобразования), играющая важную роль в теории относительности. П.
многомерных пространств используются в анализе при вычислении кратных интегралов,
так как позволяют свести заданную область интегрирования к более простой
области.

Как для групп П. плоскости, так и для групп
П. многомерных пространств можно определить понятие близости П., позволяющее
образовать непрерывные группы П. (см. Непрерывная группа).

Для каждой из групп П. существуют свойства
фигур, не изменяющиеся при П. соответствующей группы. Эти свойства являются,
как говорят, инвариантами относительно данной группы П. Так, при
преобразованиях группы движений инвариантно расстояние между двумя точками,
при аффинных П.- параллельность прямых, отношение площадей двух фигур,
при проективных П.- двойное отношение AB/AD : CB/CD точек А,
В, С, D, лежащих на одной прямой. Каждой группе П. соответствует своя
область геометрич. исследований, пучающая свойства фигур, остающихся инвариантными
при П. этой группы (см. Эрлангенская программа). В соответствии
с этим различают метрич. свойства фигур, аффинные свойства, проективные
свойства и т. д. Вообще говоря, чем шире группа, тем теснее связаны эти
инвариантные свойства с фигурой. Наиболее общими являются свойства фигур,
остающиеся инвариантными при любых топологич. П. (т. е. любых взаимно однозначных

и непрерывных П.). К ним относятся размерность,
связность, ориентируемость (см. Топология).

Особенно важную роль играют П. при установлении
новых и при обобщении ранее известных теорем. Если в формулировку нек-рой
теоремы, доказанной для фигуры F, входят лишь свойства фигуры, инвариантные
относительно нек-рой группы П., то теорема сохраняет свою силу для всех
фигур, получаемых из F П. этой группы (как говорят, гомологичных
или эквивалентных F относительно этой группы). Это свойство П. особенно
важно, если среди эквивалентных между собой фигур имеется такая, к-рая
обладает в нек-рых отношениях наиболее простыми свойствами. Так, ряд теорем
проективной геометрии был установлен впервые для окружности, а потом перенесён
на любые невырожденные конич. сечения (все невырожденные конич. сечения
эквивалентны окружности относительно группы проективных П.). При решении
геометрии, задач на построение часто используют П., для того чтобы привести
фигуры в наиболее удобные для решения положения.



Преобразования функций. Существ.
значение имеет также теория групп П. для теории аналитич. функций. Там
рассматриваются классы функций, не изменяющихся при П., образующих некоторую
группу (см. Автоморфные функции).

Понятие П. играет важную роль и в функциональном
анализе, где рассматриваются П. одного множества функций в другое. К таким
П. относятся, напр., Фурье преобразование, Лапласа преобразование и
др. При этих П. каждой функции f ставится по определённому правилу
в соответствие другая функция ф. Например, преобразование Фурье имеет вид:

Оно, как и преобразование Лапласа, относится
к классу интегральных П., определяемых формулами вида:

В ряде случаев П. позволяют заменить операции
над функциями более простыми операциями над их образами (напр., дифференцирование
- умножением на независимую переменную), что облегчает решение ур-ний.

Мн. ур-ния можно записать в виде f =
Af, где f - искомая функция, а А - символ П. В этом случае задача
решения уравнения может быть истолкована как задача нахождения функции,
не изменяющейся при П. Эта точка зрения, называемая принципом неподвижной
точки, позволяет в ряде случаев устанавливать существование и единственность
решения (см. Сжатых отображений принцип).

Лит.: Ефимов Н. В., Высшая геометрия,
5 изд., М., 1971; Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М.- Л., 1939;
его ж е, Элементарная математика с точки зрения высшей. Лекции..., пер.
с нем., 2 изд., т. 2, М. - Л., 1934; Адамар Ж., Элементарная геометрия,
пер. с франц., 4 изд., ч. 1, М.,1957.