ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ дифференциальных
уравне-н и и, получение аналитич. выражений (формул) или численных значений,
приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального
уравнения.

П. р. дифференциальных уравнений в виде
аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических
и др.), методом малого параметра, последовательных приближений методом,
Ритца и Галёркина методами, Чаплыгина методом. Каждый из этих методов
определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью к-рых при
выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для
получения П. р. останавливаются на нек-ром шаге процесса.

Если решение ищется в виде бесконечного
ряда, то за П. р. принимают конечный отрезок ряда. Напр., пусть требуется
найти решение дифференциального уравнения у' - f(x, у), удовлетворяющее
начальным условиям у (xчто f (x, у) - аналитич. функция х, у в нек-рой окрестности
точки (хТогда решение можно искать
в виде степенного ряда:

Коэффициенты Aряда
могут быть найдены либо по формулам:

либо с помощью неопределённых коэффициентов
метода. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях
величины х- х

Часто (напр., при изучении периодич. движений
в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение
состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные
члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно
после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее
точное решение. Тогда решение осн. уравнения можно искать в виде ряда,
первым членом к-рого является решение уравнения без второстепенных членов,
а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин,
входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения
для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает
их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения
(напр., при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого
параметра был использован при решении задачи о возмущённом движении в небесной
механике Л. Эйлером и П. Лапласом. Теоретич. обоснование
этого метода дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре.

К численным методам относятся методы, позволяющие
находить П. р. при нек-рых значениях аргумента (т. е. получать таблицу
приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями
решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, напр.,
метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов.

Поясним эти методы на примере уравнения
y'
=
f(x,
y) с начальным условием у (х=
y.
Пусть точное решение этого уравнения представлено
в нек-рой окрестности
точки х в виде ряда по степеням h = х - хОсн.
характеристикой точности формул П. р. дифференциальных уравнений является
требование, чтобы первые k
членов разложения в ряд по степеням
h
П.
р. совпадали с первыми
k членами разложения в ряд по степеням
h
точного решения. Осн. идея метода Эйлера заключается в применении метода
рядов для вычисления приближённых значений решения
у(х) в точках
xнек-рого фиксированного
отрезка [хТак, для того чтобы вычислить
y(xгде x=
х= (b -
х

представляют y(xв
виде конечного числа членов ряда по степеням h = xНапр.,
ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления
у(хформулы:

Это т. н. метод ломаныхЭйле-ра (на каждом
отрезке [хинтегральная кривая заменяется
прямолинейным отрезком - звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна
h².

В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать
производные, находят такую комбинацию значений f(x, у) в нек-рых
точках, к-рая даёт с определённой точностью неск. первых членов степенного
ряда для точного решения уравнения. Напр., правая часть формулы Рунге:

даёт первые пять членов степенного ряда
с точностью до величин порядка h⁵. В разностных формулах П.
р. удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части.
Решение ищется в виде линейной

Примером разностной формулы П. р. является
экстраполяц. формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая "разности"
3-го порядка:

даёт решение у(х) в точке хс
точностью до величин порядка h⁴.

Для уравнений 2-го порядка можно получить
формулы численного интегрирования путём двукратного применения

формулы Адамса. Норвежский математик К.
Стёрмер получил формулу:

особенно удобную для решения уравнений
вида у" = f(x, у). По этой формуле находят Д²yа затем y= = уДy
+ Д²y. Найдя увычисляют
y"=
f(xy

Указанные выше численные методы распространяются
и на системы дифференциальных уравнений.

Значение численных методов решения дифференциальных
уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.

Кроме аналитич. и численных методов, для
П. р. дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем
из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением,
т. е. в нек-рых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой,
проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные
к ней имели направления поля (см. Графические вычисления).

Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П.,
Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М., 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы,
М., 1973; Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений,
пер. с нем., М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений,
пер. с англ., М., 1955.