ПРОЕКТИВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
взаимнооднозначное
отображение проективной плоскости или проективного пространства
в
себя, при к-ром точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие
на прямой (поэтому П. п. иногда наз. коллинеацией). П. п. проективной прямой
наз. взаимно однозначное отображение её в себя, при к-ром сохраняется
гармоническое
расположение точек этой прямой. Простейшим и вместе с тем наиболее
важным для приложений примером П. п. является гомология - П. п.,
оставляющее на месте прямую и точку вне её. Примером П. п. пространства
является перспектива, т. е. проектирование фигуры F, лежащей в плоскости
П, из точки S в фигуру F', расположенную в плоскости П'; любое П.
п. получается конечной последовательностью перспектив. П. п. образуют группу,
осн. инвариантом к-рой является двойное отношение
четырёх точек
прямой. Теории инвариантов групп П. п., оставляющих на месте нек-рую фигуру,
представляют собой метрические геометрии (см. Проективная метрика).
Осн. теорема о П. п. проективной плоскости
состоит в том, что каковы бы ни были четыре точки А, В, С, D плоскости
П,
из к-рых никакие три не лежат на одной прямой, и четыре точки
А',
В', С', D' той же плоскости, из к-рых никакие три также не лежат на
одной прямой, существует и притом только одно П. п., к-рое точки А,
В, С, D переводит соответственно в точки А', В',С', D' . Эта
теорема применяется в номографии и аэрофотосъёмке. Аналогичная теорема
имеет место и в проективном пространстве: там П. п. определяется пятью
точками, из к-рых никакие четыре не лежат в одной плоскости. Эта теорема
эквивалентна аксиоме Паппа.
В однородных координатах П. п. выражается
однородным линейным преобразованием, определитель матрицы к-рого
не равен нулю. Рассматриваются также П. п. евклидовой плоскости или пространства;
в декартовых координатах они выражаются дробно-линейными функциями,
причём
свойство взаимной однозначности утрачивается.
Лит. см. при ст. Проективная
геометрия.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я