ПРОИЗВОДНАЯ

ПРОИЗВОДНАЯ основное понятие дифференциального
исчисления, характеризующее скорость изменения функции; П. есть функция,
определяемая для каждого х

как предел отношения:

если он существует. Функцию, имеющую П.,
наз. дифференцируемой.

Всякая дифференцируемая функция непрерывна;
обратное утверждение неверно: существуют даже непрерывные функции, не имеющие
П. ни в одной точке (см. Непрерывная функция). Для функций действительного
переменного сама П. может быть недифференцируемой и даже разрывной. В комплексной
же области существование первой П. влечёт существование П. всех порядков.
О П. функций многих переменных (частная П.), а также о правилах нахождения
П. и различных приложениях см. в ст. Дифференциальное исчисление.

В теории функций действительного переменного
изучаются, в частности, функциональные свойства П. и различные обобщения
понятия "П.". Так, напр., всюду существующая П. относится к функциям первого
класса по Бэрл классификации;
П. (даже если она разрывна) принимает
все промежуточные значения между наименьшим и наибольшим. Из различных
обобщений понятия "П." наиболее существенны следующие. Производные числа.
Верхним правым производным числом дельта

верхний предел отношения

при х^_>х,
где
хх. Аналогично определяют нижнее правое лверхнее дельталевые производные
числа. Если дельтато f(x) имеет в точке х одностороннюю правую (левую) П. Обыкновенная
П. существует, если все четыре производных числа конечны я совпадают. Производные
числа были введены итал. математиком У. Дини (1878). Как показал Н. Н.
Лузин
(1915), если все четыре производных числа конечны на нек-ром множестве,
то функция имеет обычную П. всюду на этом множестве, кроме точек множества
меры нуль (см. Мера множества).

Асимптотическая (или аппроксимативная)
производная была введена А. Я. Хинчиным (1916). Асимптотич. П. наз.
предел отношения

когда х_>x, пробегая
точки множества, для к-рого х является плотности точкой.