РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ

РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ важное
понятие математич. анализа. Функция f(x) наз. равномернонепрерывной
на данном множестве, если для всякого Е>0 можно найти такое о = о(Е)>0,
что |f(xдля любой пары чисел
xи хиз данного множества, удовлетворяющей условию
|xНепрерывная функция).
Напр.,
функция f(x)=x² равномерно непрерывна на отрезке [0,
1]: если

|x <
E/2, то |f(x|x- x |x

(так как для 0=<x0=<х).
Вообще
функция, непрерывная в каждой точке отрезка [а, b], равномерно непрерывна
на этом отрезке (теорема Кантора). Для интервала эта теорема может не иметь
места.

Так, напр., функция f(x)=1/x непрерывна
в каждой точке интервала 0 < х < 1, но не является равномерно
непрерывной в этом интервале, потому что, напр., при E = 1 для любого o>0
(o<1) мы имеем удовлетворяющие неравенству

|x<o
числа
x = o, для к-рых |f(x=1/o>1.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я