РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ уравнения,
имеющие одно и то же множество корней (в случае кратных корней нужно, чтобы
кратности соответствующих копией совпадали). Так, из трёх ур-ний: корень
квадратный из х = 2, 3х-7 = 5, (х-4)²=0, первое
и второе - Р. у., а первое и третье не Р. у. (т. к. кратность корня х=4
для первого ур-ния равна 1, а для третьего равна 2). Если к обеим частям
ур-ния прибавить один и тот же многочлен от х или умножить обе части
на одно и то же число, не равное 0, то получим ур-ние, равносильное данному.
Напр., х²-х+1=х-1 и х²-2х + 2=0 - Р. у. (к
обеим частям первого прибавлен многочлен: -х+1); 0,01х²-0,37х
+ 1=0 и х²-37х +100=0 - также Р. у. (обе части первого
умножены на 100). Но если умножить или разделить обе части ур-ния на многочлен
степени не ниже 1, то полученное ур-ние, вообще говоря, не будет равносильным
данному. Напр., х-1=0 и (х-1)(х+1)=0 - не Р. у. (корень х
= - 1 второго не является корнем первого). Понятие "Р. у." приобретает
точный смысл, когда указано поле, в к-ром лежат корни ур-ний. Напр.,
х²-1=0
и х⁴-1=0 - Р. у. в поле действительных чисел (множество корней
как для одного, так и для другого состоит из 2 чисел: хх- 1). Но они не Р. у. в поле комплексных чисел, т. к. второе имеет
ещё 2 мнимых корня: х = i, хПонятие
Р. у. можно применять и к системе ур-ний. Напр., если
Р(х, у) и
Q(x, у)- два многочлена от переменных x и y и a,
b, c и d - числа
(действительные или комплексные), то две системы:
Р(х, у) = 0, Q(x,
у) = 0 и аР(х, у)+ + bQ(x, у) = 0, сР(х, у) + dQ(x, у) =
О
равносильны тогда, когда определитель
ad-bс не равно 0. А. И. Маркушевич.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я