РАЗМЕРНОСТЬ
(число измерений) геометрической
фигуры, число, равное единице, если фигура есть линия; равное двум, если
фигура есть поверхность; равное трём, если фигура представляет собой тело.
С точки зрения аналитич. геометрии Р. фигуры равна числу координат, нужных
для определения положения лежащей на этой фигуре точки; напр., положение
точки на кривой определяется одной координатой, на поверхности - двумя
координатами, в трёхмерном пространстве - тремя координатами. Геометрия
до сер. 19 в. занималась только фигурами первых трёх Р. С развитием в сер.
19 в. понятия о многомерном пространстве геометрия начинает заниматься
фигурами любой Р. Простейшими фигурами размерности т являются т-мерные
многообразия;
т-мерное многообразие, расположенное в n-мерном пространстве, задаётся
при помощи п - т уравнений (напр., линия, т. е. одномерное
многообразие, в трёхмерном пространстве задаётся 3-1=2 уравнениями). Положение
точки на т-мерном многообразии определяется "криволинейными" координатами
(напр., положение точки на сфере определяется её "географическими координатами"
- долготой и широтой; аналогично на торе). Приведённые выше положения справедливы
лишь при нек-рых ограничительных предположениях. Действительно общее определение
Р. любого замкнутого ограниченного множества, лежащего в и-мерном евклидовом
пространстве, было дано П. С. Урысоном:
оказывается, для того чтобы
такое множество имело размерность =<т, необходимо и достаточно,
чтобы оно при любом е>0 допускало е-покрытие
(замкнутыми множествами,
имеющими кратность <n+`1). Приведённое выше общее определение Р. допускает
естественное обобщение на очень широкие классы топологических пространств.
Урысон
построил в 1921 теорию Р.- одну из глубоких теорий совр. топологии. Своим
дальнейшим развитием теория Р. обязана гл. обр. сов. математикам (П. С.
Александров, Л. С. Понтрягин и др.).
Лит.: Александров П. С., Пасынков
Б. А., Введение в теорию размерности, М., 1973.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я