РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Подобным же образом Р. любой случайной
величины X, возможные значения к-рой образуют конечную или бесконечную
последовательность, задаётся указанием этих значений

х...

и соответствующих им вероятностей

p...

При этом вероятности рдолжны
быть положительны и в сумме должны давать единицу. Р. указанного типа наз.
дискретными. Примером дискретного Р. может служить Пуассона распределение,
определяемое
вероятностями

где Л > 0 - параметр.

Однако задание Р. указанием возможных значений
хи
соответствующих вероятностей рне всегда возможно. Напр.,
если величина распределена "равномерно" на отрезке [-¹/+ ¹/непрерывных величин, то вероятность каждого отд. значения равна нулю. Р.
таких случайных величин задаётся указанием вероятности того, что случайная
величина X примет значение из любого наперёд заданного интервала.
В том случае, когда существует функция Рх(х) такая, что вероятность
попадания X в любой интервал (а, b) равна

Р. величины X наз. непрерывным. Функция
Рх(х)
носит
название плотности вероятности. Плотность вероятности неотрицательна
и обладает тем свойством, что

В указанном выше случае равномерного Р.
на отрезке [-¹/1/

Важнейшее Р. непрерывного типа - нормальное
распределение с плотностью

(a и o>0 - параметры).

Р. случайных величин не исчерпываются дискретным
и непрерывным типами: они могут быть и более сложной природы. Поэтому желательно
иметь такое описание Р., к-рое было бы пригодно во всех случаях. Это описание
может быть достигнуто, напр., при помощи т. н. функции распределения Fx
(х). Значение этой функции при каждом фиксированном х равно
вероятности Р{Х<х} того, что случайная величина х примет
значение, меньшее х, т. е.

Функция Р. есть неубывающая функция х,
изменяющаяся
от 0 до 1 при изменении х от - бесконечности до + бесконечности.
Вероятность того, что X примет значение из нек-рого полуинтервала
[а,
b), равна вероятности того, что X будет удовлетворять неравенству
a =< X < b, т. е. равна

F(b) - F(a).

Примеры. 1) Пусть Е - нек-рое событие,
вероятность появления к-рого есть р, где 0<р<1. Тогда число
м появлений события Е при п независимых наблюдениях есть
случайная величина, принимающая значения т = 0, 1, 2, ..., п
с
вероятностями

Это Р. носит название биномиального
распределения. Биномиальное Р. (см. рис. 1, а и б) при больших п
близко
к нормальному в силу Лапласа теоремы.

Рис. 1. Биномиальное распределение:
а - вероятности рmт
q^n-m; б -функция распределения (п = 10, р =

0,2). Гладкими кривыми изображено нормальное
приближение биномиального распределения.

2) Число наблюдений до первого появления
события Е из примера 1 есть случайная величина, принимающая все
целые значения т = 1, 2, 3, ... с вероятностями

Рт = q^m-1 р.

Это Р. носит название геометрического,
т. к. последовательность {ресть геометрич. прогрессия
(см. рис. 2, а и б).

Рис. 2. Геометрическое распределение:
а - вероятности рm-1p; б - функция распределения
(р = 0,2).

3) Р., плотность к-рого р(х) равна
¹/h
на нек-ром интервале (a - h, a + h) и равна нулю вне этого интервала,
носит название равномерного распределения. Соответствующая функция
Р. растёт линейно от 0 до 1 при изменении х от а - h
до а
+ h (см. рис. 3, а и б).

Дальнейшие примеры Р. вероятностей см.
в статьях Кошм распределение, Пирсона кривые, Полиномиальное распределение,
Показательное распределение, "Хи-квадрат" распределение, Стьюдента распределение.

Рис. 3. Равномерное распределение: а
-плотность вероятности; 6 - функция распределения.

Пусть случайные величины X и Y связаны
соотношением Y = f(X), где f(x) - заданная функция. Тогда Р. Y может быть
довольно просто выражено через Р. X. Напр., если X имеет нормальное Р.
и Y = е^x, то Y имеет т. н. логарифмически-нормальное
распределение с плотностью (см. рис. 4)

Рис. 4. Плотность логарифмически-нормального
распределения (m = 2, o = 1).

Формулы, связывающие Р. величин X и Y,
становятся особенно простыми, когда У = аХ + b, где а и b
- постоянные. Так, при а>0

Часто полное описание Р. (напр., при помощи
плотности или функции Р.) заменяют заданием небольшого числа характеристик,
к-рые указывают или на наиболее типичные (в том или ином смысле) значения
случайной величины, или на степень рассеяния значений случайной величины
около нек-рого типичного значения. Из этих характеристик наиболее употребительны
математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия. Математич. ожидание
ЕХ случайной величины X, имеющей дискретное Р., определяется как сумма
ряда

при условии, что этот ряд сходится абсолютно.
Для случайной величины X, имеющей Р. непрерывного типа с плотностью
Рх(х),
математич.
ожидание определяется формулой

при условии, что написанный интеграл сходится
абсолютно. Если Y = f(X), то ЕУ может быть вычислено двумя способами.
Напр., если X и Y имеют непрерывное Р., то, с одной стороны, по определению

с другой стороны, можно показать, что

Дисперсия DX определяется как

т. е., напр., для непрерывного Р.

Р. вероятностей имеют много общего с Р.
к.-л. масс на прямой. Так, случайной величине X, принимающей значения xхс вероятностями ррможно поставить в соответствие Р.
масс, при к-ром в точках хразмещены массы, равные pПри
этом формулы для ЕХ и DX оказываются совпадающими с формулами, определяющими
соответственно центр тяжести и момент инерции указанной системы материальных
точек. Подробнее о числовых характеристиках Р. см. в статьях
Квантиль,
Медиана, Мода, Математическое ожидание, Вероятное отклонение, Дисперсия,
Квадратичное отклонение.

Если складываются неск. независимых случайных
величин, то их сумма будет случайной величиной, Р. к-рой зависит только
от Р. слагаемых (чего не будет, как правило, при сложении зависимых случайных
величин). При этом, напр., для случая двух слагаемых, каждое из к-рых имеет
Р. непрерывного типа, имеет место формула:

В весьма широких предположениях Р. суммы
независимых случайных величин при увеличении числа слагаемых приближается
к нормальному Р. или к др. предельным Р. (см. Предельные теоремы теории
вероятностей). Однако для установления этого факта явные формулы типа (*)
практически непригодны, поэтому доказательство ведётся обходным путём,
обычно с использованием т. н. характеристических функций.

Статистические распределения и их связь
с вероятностными. Пусть произведено п независимых наблюдений случайной
величины X, имеющей функцию P. F(x). Статистич. Р. результатов наблюдений
задаётся указанием наблюдённых значений x..., хслучайной величины X и соответствующих им частот
hh(т. е. отношений числа наблюдений,
в к-рых появляется данное значение, к общему числу наблюдений). Напр.,
если при 15 наблюдениях значение 0 наблюдалось 8 раз, значение 1 наблюдалось
5 раз, значение 2 наблюдалось 1 раз и значение 3 наблюдалось 1 раз, то
соответствующее статистич. Р. задаётся табличкой: