РАУСА-ГУРВИЦА ПРОБЛЕМА

РАУСА-ГУРВИЦА ПРОБЛЕМА проблема,
состоящая в определении числа k корней алгебраич. уравнения

аn + аn-1
+ ... + аа, имеющих положительные
действительные части. В случае действительных коэффициентов aa справедлива формула

где V - число знакоперемен в ряде
чисел aa
D1, 2, ..., n)- определители Гурвица (см. Гурвица
критерий). Специального рассмотрения требуют особые случаи, когда нек-рые
из Dравны нулю. В случае l= 1 из формулы (1) следует
критерий Гурвица. Формула (1) была установлена нем. математиком А. Гурвицем
(A. Hurwitz; 1895). Другими путями Р.- Г. п. исследовалась ранее франц.
математиком III. Эрмитом (1856) и англ. механиком Э. Раусом (Е. Routh;
1877). Раус установил специальный алгоритм для вычисления числа k. Формула
(1) может быть заменена геометрич. правилом. Точка, изображающая комплексную
величину

an +an-1+
... + апри изменении со от 0 до + бесконечности описывает
кривую. Если при этом полярный угол О точки кривой получает приращение

Специального рассмотрения требует особый
случай, когда кривая проходит через начало координат. При k = 0
из формулы (2) следует v = n, что даёт получивший широкое распространение
в технич. литературе критерий устойчивости А. Михайлова (1939).

В приложениях встречаются обобщения Р.-
Г. п. па случай комплексных коэффициентов а , а, ..., аи па случай трансцендентных уравнений.