РЕЗОНАНС

РЕЗОНАНС (франц. resonance, от лат.
resono - звучу в ответ, откликаюсь), явление резкого возрастания амплитуды
вынужденных
колебаний в к.-л. колебательной системе, наступающее при приближении
частоты пeриодич. внеш. воздействия к пек-рым значениям, определяемым свойствами
самой системы. В простейших случаях Р. наступает при приближении частоты
внеш. воздействия к одной из тех частот, с к-рыми происходят собств. колебания
в системе, возникающие в результате начального толчка. Характер явления
Р. существенно зависит от свойств колебат. системы. Наиболее просто Р.
протекает в тех случаях, когда периодич. воздействию подвергается система
с параметрами, не зависящими от состояния самой системы (т. н. линейные
системы).

Типичные черты Р. можно выяснить, рассматривая
случай гармонич. воздействия на систему с одной степенью свободы: напр.,
на массу те, подвешенную на пружине, находящуюся под действием гармонич.
силы F = Fcos cot (рис. 1), или электрич. цепь, состоящую
из последовательно соединённых индуктивности L, ёмкости С, сопротивления
R
и
источника электродвижущей силы Е, меняющейся по гармонич. закону
(рис. 2).

Рис. 1. Механическая колебательная система.

Для определенности в дальнейшем рассматривается
первая из этих моделей, но всё сказанное ниже можно распространить и на
вторую модель.

Рис. 2. Электрическая колебательная
система с последовательным включением ёмкости С и индуктивности L.

Примем, что пружина подчиняется закону
Гука (это предположение необходимо, чтобы система была линейна), т. е.,
что сила, действующая со стороны пружины на массу т, равна kx,
где
х
- смещение массы от положения равновесия, k - коэфф. упругости
(сила тяжести для простоты не принимается во внимание). Далее, пусть при
движении масса испытывает со стороны окружающей среды сопротивление, пропорциональное
её скорости х и коэфф. трения b, т. е. равное bх (это
необходимо, чтобы система оставалась линейной). Тогда ур-ние движения массы
т
при
наличии гармонич. внеш. силы F имеет вид:

тх + bx + kx = Fwt, (1)

где Fo - амплитуда колебания, w - циклич.
частота, равная 2 Пи /Т, Т - период внеш. воздействия, х - ускорение
массы т. Решение этого ур-ния может быть представлено в виде суммы
двух решений. Первое из этих решений соответствует свободным колебаниям
системы, возникающим под действием начального толчка, а второе - вынужденным
колебаниям. Собств. колебания в системе вследствие наличия трения и сопротивления
среды всегда затухают, поэтому по истечении достаточного промежутка времени
(тем большего, чем меньше затухание собственных колебаний) в системе останутся
одни только вынужденные колебания. Решение, соответствующее вынужденным
колебаниям, имеет вид:

причём

Т. о., вынужденные колебания представляют
собой гармонич. колебания с частотой, равной частоте внеш. воздействия;
амплитуда и фаза вынужденных колебаний зависят от соотношения между частотой
внеш. воздействия и параметрами системы.

Зависимость амплитуды смещений при вынужденных
колебаниях от соотношения между величинами массы т и упругости k
легче
всего проследить, полагая, что т и k остаются неизменными,
а изменяется частота внеш. воздействия. При очень медленном воздействии
(w->0) амплитуда смещений xFувеличением
частоты со амплитуда x растёт, т. к. знаменатель в выражении
(2) уменьшаeтся. Когда со приближается к значению корень квадратный из
k/m (т. е. к значению частоты собств. колебаний при малом их затухании),
амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума - наступает Р. Далее
с увеличением со амплитуда колебаний монотонно убывает и при w^_>
бесконечность стремится к нулю.

Амплитуду колебаний при Р. можно приближённо
определить, полагая w = корень квадратный из k/m. Тогда
х= Fo/bw, т. е. амплитуда колебаний при Р. тем больше, чем меньше затухание
b в системе (рис. 3). Наоборот, при увеличении затухания системы
Р. становится всё менее резким, и если b очень велико, то Р. вообще
перестаёт быть заметным. С энергетич. точки зрения Р. объясняется тем,
что между внеш. силой и вынужденными колебаниями устанавливаются такие
фазовые соотношения, при к-рых в систему поступает наибольшая мощность
(т. к. скорость системы оказывается в фазе с внеш. силой и создаются наиболее
благоприятные условия для возбуждения вынужденных колебаний).

Рис. 3. Зависимость амплитуд смещений
от частоты внешнего воздействия для Различных значений b (b

Если на линейную систему действует периодическое,
но не гармонич. внеш. воздействие, то Р. наступит только тогда, когда во
внеш. воздействии содержатся гармонич. составляющие с частотой, близкой
к собств. частоте системы. При этом для каждой отд. составляющей явление
будет протекать так же, как рассмотрено выше. А если этих гармонич. составляющих
с частотами, близкими к собств. частоте системы, будет несколько, то каждая
из них будет вызывать резонансные явления, и общий эффект, согласно суперпозиции
принципу, будет равен сумме эффектов от отд. гармонич. воздействий.
Если же во внеш. воздействии не содержится гармонич. составляющих с частотами,
близкими к собств. частоте системы, то Р. вообще не наступает. Т. о., линейная
система отзывается, "резонирует" только на гармонич. внеш. воздействия.

В электрич. колебат. системах, состоящих
из последовательно соединённых ёмкости С и индуктивности L (рис. 2), Р.
состоит в том, что при приближении частот внеш. эдс к собств. частоте колебат.
системы, амплитуды эдс на катушке и напряжения на конденсаторе порознь
оказываются гораздо больше амплитуды эдс, создаваемой источником, однако
они равны по величине и противоположны по фазе. В случае воздействия гармонич.
эдс на цепь, состоящую из параллельно включённых ёмкости и индуктивности
(рис. 4), имеет место особый случай Р. (антирезонанс). При приближении
частоты внеш. эдс к собств. частоте контура LC происходит не возрастание
амплитуды вынужденных колебаний в контуре, а наоборот, резкое уменьшение
амплитуды силы тока во внеш. цепи, питающей контур. В электротехнике это
явление наз. Р. токов или параллельным Р. Это явление объясняется тем,
что при частоте внеш. воздействия, близкой к собств. частоте контура, реактивные
сопротивления обеих параллельных ветвей (ёмкостной и индуктивной) оказываются
одинаковыми по величине и поэтому в обеих ветвях контура текут токи примерно
одинаковой амплитуды, но почти противоположные по фазе. Вследствие этого
амплитуда тока во внеш. цепи (равного алгсбраич. сумме токов в отд. ветвях)
оказывается гораздо меньшей, чем амплитуды тока в отд. ветвях, к-рые при
параллельном Р. достигают наибольшей величины. Параллельный Р., так же
как и последоват. Р., выражается тем резче, чем меньше активное сопротивление
ветвей контура Р. Последоват. и параллельный Р. наз. соответственно Р.
напряжений и Р. токов.

Рис. 4. Электрическая колебательная
система с включёнными параллельно ёмкостью и индуктивностью.

В линейной системе с двумя степенями свободы,
в частности в двух связанных системах (например, в двух связанных электрич.
контурах; рис. 5), явление Р. сохраняет указанные выше осн. черты. Однако,
т. к. в системе с двумя степенями свободы собств. колебания могут происходить
с двумя различными частотами (т. н. нормальные частоты, см. Нормальные
колебания), то Р. наступает при совпадении частоты гармонич. внеш.
воздействия как с одной, так и с другой нормальной частотой системы. Поэтому,
если нормальные частоты системы не очень близки друг к другу, то при плавном
изменении частоты внеш. воздействия наблюдаются два максимума амплитуды
вынужденных колебаний (рис. 6).

Рис. 5. Пример двух связанных электрических
контуров.

Но если нормальные частоты системы
близки друг к другу и затухание в системе достаточно велико, так что Р.
на каждой из нормальных частот "тупой", то может случиться, что оба максимума
сольются. В этом случае кривая Р. для системы с двумя степенями свободы
теряет свой "двугорбый" характер и по внеш. виду лишь незначительно отличается
от кривой Р. для линейного контура с одной степенью свободы. Т. о., в системе
с двумя степенями свободы форма кривой Р. зависит не только от затухания
контура (как в случае системы с одной степенью свободы), но и от степени
связи между контурами.

Рис. 6. Резонансная кривая с двумя максимумами.

В связанных системах также существует
явление, к-рое в известной мере аналогично явлению антирезонанса в системе
с одной степенью свободы. Если в случае двух связанных контуров с различными
собств. частотами настроить вторичный контур Lна
частоту внеш. эдс, включённой в первичный контур L(рис. 5), то сила тока в первичном контуре резко падает и тем резче, чем
меньше затухание контуров. Объясняется это явление тем, что при настройке
вторичного контура на частоту внеш. эдс в этом контуре возникает как раз
такой ток, к-рый в первичном контуре наводит эдс индукции, примерно равную
внеш. эдс по амплитуде и противоположную ей по фазе.

В линейных системах со многими степенями
свободы и в сплошных системах Р. сохраняет те же осн. черты, что и в системе
с двумя степенями свободы. Однако в этом случае, в отличие от систем с
одной степенью свободы, существенную роль играет распределение внеш. воздействия
по отд. координатам. При этом возможны такие спец. случаи распределения
внеш. воздействия, при к-рых, несмотря на совпадения частоты внеш. воздействия
с одной из нормальных частот системы, Р. всё же не наступает. С энергетич.
точки зрения это объясняется тем, что между внеш. силой и вынужденными
колебаниями устанавливаются такие фазовые соотношения, при к-рых мощность,
поступающая в систему от источника возбуждения по одной координате, равна
мощности, отдаваемой системой источнику по другой координате. Пример этого
- возбуждение вынужденных колебаний в струне, когда внеш. сила, совпадающая
по частоте с одной из нормальных частот струны, приложена в точке, к-рая
соответствует узлу скоростей для данного нормального колебания (напр.,
сила, совпадающая по частоте с осн. тоном струны, приложена у самого конца
струны). При этих условиях (вследствие того, что внеш. сила приложена к
неподвижной точке струны) эта сила не совершает работы, мощность от источника
внеш. силы в систему не поступает и сколько-нибудь заметного возбуждения
колебаний струны не возникает, т. е. Р. не наблюдается.

Р. в колебат. системах, параметры к-рых
зависят от состояния системы, т. е. в нелинейных системах, имеет
более сложный характер, чем в системах линейных. Кривые Р. в нелинейных
системах могут стать резко несимметричными, и явление Р. может наблюдаться
при различных соотношениях частот воздействия и частот собств. малых колебаний
системы (т. н. дробный, кратный и комбинационный Р.). Примером Р. в нелинейных
системах может служить т. н. феррорезо-нанс, т. е. резонанс в электрич.
цепи, содержащей индуктивность с ферромагнитным сердечником, или ферромагнитный
резонанс, представляющий собой явление, связанное с Р. элементарных
(атомных) магнитов вещества при приложении высокочастотного магнитного
поля (см. Радиоспектроскопия).

Если внеш. воздействие производит периодич.
изменение энергоёмких параметров колебат. системы (напр., ёмкости в электрич.
контуре), то при определённых соотношениях частот изменения параметра и
собств. частоты свободных колебаний системы возможно параметрическое
возбуждение колебаний, или параметрический Р.

Р. весьма часто наблюдается в природе и
играет огромную роль в технике. Большинство сооружений и машин способны
совершать собств. колебания, поэтому периодич. внеш. воздействия могут
вызвать их Р.; напр. Р. моста под действием периодич. толчков при прохождении
поезда по стыкам рельсов, Р. фундамента сооружения или самой машины под
действием не вполне уравновешенных вращающихся частей машин и т. д. Известны
случаи, когда целые корабли входили в Р. при определённых числах оборотов
гребного вала. Во всех случаях Р. приводит к резкому увеличению амплитуды
вынужденных колебаний всей конструкции и может привести даже к разрушению
сооружения. Это вредная роль Р., и для устранения его подбирают свойства
системы так, чтобы её нормальные частоты были далеки от возможных частот
внеш. воздействия, либо используют в том или ином виде явление антирезонанса
(применяют т. н. поглотители колебаний, или успокоители). В др. случаях
Р. играет положит. роль, напр. в радиотехнике Р.- почти единств. метод,
позволяющий отделить сигналы одной (нужной) радиостанции от сигналов всех
остальных (мешающих) станций.

Лит.: Стрелков С. П., Введение в
теорию колебаний, 2 изд., М., 1964; Горелик Г. С., Колебания и волны, Введение
в акустику, радиофизику и оптику, 2 изд., М., 1939.