РИМАНА ГЕОМЕТРИЯ
эллиптическая
геометрия, одна из неевклидовых геометрий, т. е. геометрич. теория,
основанная на аксиомах, требования к-рых (в значительной части) отличны
от требований аксиом евклидовой геометрии. Осн. объектами, или элементами,
трёхмерной Р. г. являются точки, прямые и плоскости; осн. понятия Р. г.
суть понятия принадлежности (точки прямой, точки плоскости), порядка (напр.,
порядка точек на прямой или порядка прямых, проходящих через данную точку
в данной плоскости) и конгруэнтности (фигур). Требования аксиом Р. г.,
касающиеся принадлежности и порядка, полностью совпадают с требованиями
аксиом проективной геометрии. Соответственно, в Р. г. имеют место,
напр., следующие предложения: через каждые две точки проходит одна прямая,
каждые две плоскости пересекаются по одной прямой, каждые две прямые, лежащие
в одной плоскости, пересекаются (в одной точке), точки на прямой расположены
в циклич. порядке (как и прямые, лежащие в одной плоскости и проходящие
через одну точку). Требования аксиом Р. г., касающиеся конгруэнтности,
сходны с требованиями соответствующих аксиом евклидовой геометрии: во всяком
случае они обеспечивают движения фигур по плоскости и в пространстве
Римана столь же свободные, как на плоскости и в пространстве Евклида. Метрич.
свойства плоскости Римана "в малом" совпадают с метрич. свойствами обыкновенной
сферы. Точнее: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту
точку часть плоскости, изометричная нек-рой части сферы; радиус R этой
сферы - один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана.
Число К = 1/R2 наз. кривизной пространства Римана (чем
меньше К, тем ближе свойства фигур этого пространства к евклидовым).
Свойства плоскости Римана "в целом" отличаются от свойств целой сферы;
так, напр., на плоскости Римана две прямые пересекаются в одной точке,
а на сфере два больших круга, к-рые играют роль прямых в сферич. геометрии,
пересекаются в двух точках; прямая, лежащая на плоскости, не разделяет
эту плоскость (т. е., если прямая а лежит в плоскости а, то любые
две точки плоскости а, не лежащие на прямой а, возможно соединить
отрезком, не пересекая прямой а).
По-видимому, первое сообщение о Р. г. сделано
Б. Риманом в его лекции "О гипотезах, лежащих в основании геометрии"
(1854, опубликовано в 1867), где Р. г. рассматривалась как частный случай
римановой
геометрии - теории римановых пространств в широком смысле. Р.
г. относится к теории пространств постоянной положительной кривизны.
Лит. см. при статье Неевклидовы
геометрии. Н. В. Ефимов.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я