РИТЦА И ГАЛЁРКИНА МЕТОДЫ
широко
распространённые прямые методы решения гл. обр. вариационных задач и краевых
задач математич. анализа (см. Краевые задачи, Вариационное исчисление).
Метод Ритца применяется большей частью
для приближённого решения вариационных задач и тех краевых задач, к-рые
сводятся к вариационным. Пусть задан функционал V[y(x)] (или более сложный
функционал) и требуется найти такую функцию у(х), принимающую в точках
Х0 и X1 заданные значения а = у(х0) и b = y(x1), на к-рой функционал V[y(x)]
будет достигать экстремума. Значения исследуемого на экстремум функционала
V[y(x)] рассматриваются не на всех допустимых в данной задаче функциях
у(х), а лишь на всевозможных линейных комбинациях вида
с постоянными коэффициентами ai, составленных из п первых функций некоторой
выбранной системы ф1(x), ф2(х), ..., <фn(x), ... (от удачного выбора
этой системы функций зависит эффективность применения метода к решению
конкретных задач). Необходимым условием выбора системы функций фi(x) является
требование, чтобы функции уп(х) удовлетворяли условиям yп(х0) = а и уn(х1)=
= b для всех значений параметров at. При таком выборе функций у„(х) функционал
V[y(x)] превращается в функцию Ф(a1, а2, ..., аn) коэффициентов ai; последние
выбирают так, чтобы эта функция достигала экстремума, т. е. определяют
их из системы уравнений
Напр., пусть требуется решить задачу о минимуме интеграла
при условии у(0) = y(1) = 0. В качестве функций ф>i(x) можно взять
хi(1 - х), тогда
Если и = 2, то г/г = х(1 - х)(а± + а2х). Для определения коэффициентов
at и а2 получаем после вычислений два уравнения
Полученное приближенное решение отличается от точного на величину порядка
0,001. Найденное этим методом приближённое решение уп(х) вариационной задачи
при нек-рых условиях, касающихся в основном полноты системы функций фi(x),
стремится к точному решению у(х), когда п-> бесконечность. Метод был предложен
в 1908 нем. математиком В. Ритцем (W. Ritz). Теоретич. обоснование метода
дано сов. математиком Н. М. Крыловым (1918).
Метод Галёркина является широким обобщением метода Ритца и применяется
гл. обр. для приближённого решения вариационных и краевых задач, в том
числе и тех, к-рые не сводятся к вариационным. Осн. идея метода Галёркина
состоит в следующем. Пусть требуется в нек-рой области D найти решение
дифференциального уравнения L[u] = 0 (1) (L - нек-рый дифференциальный
оператор, напр, по двум переменным), удовлетворяющее на границе S области
D однородным краевым условиям: и = 0. (2) Если функция и является решением
уравнения (1) в области D, то функция L[u] тождественно равна нулю в этой
области и, следовательно, ортогональна (см. Ортогональность) любой функции
в области D. Приближённое решение уравнения (1) ищут в виде
где фi(x,y) (г = 1, 2, ..., и) - линейно независимые функции, удовлетворяющие
краевым условиям (2) и являющиеся первыми п функциями нек-рой системы функций
ф1(x,y), ф2(x,y), ..., фn(х,у), ..., полной в данной области. Постоянные
коэффициенты at выбирают так, чтобы функция L[un] была ортогональна в D
первым п функциям системы ф1(x,y)
Напр., пусть в области D требуется решить уравнение Пуассона
при условии и = 0 на S. Выбирая систему функций фi(x,y), ищем решение
в виде (3). Система уравнений (4) для определения коэффициентов в ai имеет
вид:
Функции ф1(х, у) можно, в частности, выбирать, пользуясь следующими
сооб-
ражениями. Пусть w(х, у) -непрерывная функция, имеющая внутри области
D непрерывные частные производные второго порядка и такая, что w(х, у)>0
внутри D, w(х, у) = 0 на S. Тогда в качестве системы функций ф1(x, у) можно
взять систему, составленную из произведений w(х,у) на различные степени
х и у; ф0= w, ф1=wx, ф2 = wx2, ф3 = wху,.... Напр., если границей области
D является окружность S радиуса R с центром в начале координат, то можно
положить
Метод Галёркина применяется при решении
широкого класса задач; более общая его формулировка даётся в терминах функционального
анализа для решения уравнений вида Аи - f = 0, где А - линейный оператор,
определённый на линеале, плотном в нек-ром гильбертовом пространстве Н,
и - искомый и f - заданный элементы пространства Н.
Метод получил распространение после исследований
Б. Г. Галёркина (1915); ранее (1913) он применялся для решения конкретных
задач теории упругости И. Г. Бубновым, в связи с чем иногда именуется методом
Бубнова - Галёркина. Теоретич. обоснование метода принадлежит М. В. Келдышу
(1942).
Лит.: Г а л ё р к н н Б. Г., Стержни и
пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок,
"Вестник инженеров", 1915, т. 1, Mb 19, с. 897- 908; М и х л и н С. Г.,
Вариационные методы в математической физике, 2 изд., М.- Л., 1970; Канторович
Л. В. и Крылов В. И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. -
М.. 1962; Ritz W., Neue Methode zur Losung gewisser Randwertaufgaben, "Gesellschaft
der Wissenschaften zu Gottingen. Math.-physik. Klasse. Nachrichten", Gottingen,
1908; его же, Ober eine neue Methode zur Losung gewisser Variationsprobleme
der mathematischen Physik, "Journal fur die reine und angewandte Mathematik",
1909, Bd 135. В. Г. Карманов.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я