РЯД

РЯД бесконечная сумма, напр, вида

или, короче,

Одним из простейших примеров Р., встречающихся
уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрич.
прогрессии

Р. широко используются в математике и её
приложениях как в теоретич. исследованиях, так и при приближённых численных
решениях задач. Многие числа могут быть записаны в виде специальных Р.,
с помощью к-рых удобно вычислять их приближённые значения с нужной точностью.
Напр., для числа я имеется Р.

для основания е натуральных логарифмов
- Р.

а для натурального логарифма 1n2 - ряд

Метод разложения в Р. является эффективным
методом изучения функций. Он применяется для вычисления приближённых значений
функций, для вычисления и оценок интегралов, для решения всевозможных уравнений
(алгебраических, дифференциальных, интегральных) и т. п.

При численных расчётах, когда Р. заменяется
конечной суммой его первых слагаемых, полезно иметь оценку получаемой при
этом погрешности (оценку "скорости сходимости" Р.)- При этом целесообразно
использовать Р., у к-рых эти погрешности достаточно быстро стремятся к
нулю с возрастанием номера п. Напр., в случае Р. (4) оценка указанной
погрешности имеет вид 0 < е - s

Одни и те же величины могут выражаться
через суммы различных рядов. Так, для числа я, кроме Р. (3), имеются и
другие Р., напр.

однако он сходится значительно "медленнее"
Р. (3), и потому его невыгодно использовать для приближённого вычисления
числа я. Существуют методы преобразования Р., иногда улучшающие скорость
сходимости Р.

На бесконечные суммы не переносятся все
свойства конечных сумм. Напр., если взять Р.

и сгруппировать подряд его члены по два,
то получим (1 - 1)+ (1 - 1) + ... = 0; при другом же способе группировки
1 - (1 - 1) - (1 - 1) - ... = 1. Поэтому следует дать чёткое определение
того, что называется бесконечной суммой, и, определив это понятие, проверить,
справедливы ли для таких сумм закономерности, установленные для конечных
сумм. Доказывается, что для бесконечного числа слагаемых при определённых
условиях сохраняются законы коммутативности и ассоциативности сложения,
дистрибутивности умножения относительно сложения, правила почленного дифференцирования
и интегрирования и т. п.



Числовые ряды. Формально Р. (1)
можно определить как пару числовых (действительных или комплексных) последовательностей
{ии
{Sтаких,
что Sn =
U1,2,...
Первая последовательность иаз. последовательностью членов Р., а вторая
- последовательностью его частичных сумм [точнее sсуммой n-го порядка Р. (1)]. Р. (1) называется сходящимся, если сходится
последовательность его частичных сумм {sВ этом случае
предел

называется суммой Р. и пишется

Т. о., обозначение (1) применяется как
для самого Р., так и для его суммы (если он сходится). Если последовательность
частичных сумм не имеет предела, то Р. называется расходящимся. Примером
сходящегося Р. является Р. (2), расходящегося - Р. (5). Каждый Р. однозначно
определяет последовательность его частичных сумм, и обратно: для любой
последовательности {sимеется и притом единственный
Р., для к-рого она является последовательностью его частичных сумм, причём
члены иэтого Р. определяются по формулам u= S = = S..., п = 1,2,... В силу этого изучение Р. эквивалентно изучению последовательностей.

называется остатком

порядка п Р. (1). Если Р. сходится,
то каждый его остаток сходится, а если какой-либо остаток Р. сходится,
то и сам Р. также сходится. Если остаток порядка п Р. (1) сходится
и его сумма равна rто s = sЕсли
Р. (1) и Р.

сходятся, то сходится и Р.

называемый суммой рядов (1) и (6), причём
его сумма равна сумме данных Р. Если Р. (1) сходится и X - комплексное
число, то Р.

называемый произведением Р. на число X,
также сходится и

Условие сходимости Р., не использующее
понятия его суммы (в случаях, когда, напр., сумма Р. неизвестна), даёт
критерий Коши: для того чтобы Р. (1) сходился, необходимо и достаточно,
чтобы для любого e > 0 существовал такой номер пчто
при любом n >= nр >=0 выполнялось неравенство

Отсюда следует, что если Р. (1) сходится,
то

Обратное неверно: я-й член т. н. гармонического
ряда

стремится к нулю, однако этот Р. расходится.

Большую роль в теории Р. играют Р. с неотрицательными
членами. Для того чтобы такой Р. сходился, необходимо и достаточно, чтобы
последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Если же он
расходится, то

поэтому в этом случае пишут:

Для Р. с неотрицательными членами имеется
ряд признаков сходимости.

Интегральный признак сходимости: если функция
f
(x) определена при всех х >= 1, неотрицательна и убывает, то
Р.

сходится тогда и только тогда, когда сходится
интеграл

С помощью этого признака легко устанавливается,
что Р.

сходится при а > 1 и расходится при а =<
1.

Признак сравнения: если для двух Р. (1)
и (6) с неотрицательными членами существует такая постоянная с > 0, что
0 =< u =< cvто из сходимости
Р. (6) следует сходимость Р. (1), а из расходимости Р. (1) - расходимость
Р. (6). Обычно для сравнения берётся Р. (8), а в заданном Р. выделяется
главная часть вида А/п^a. Таким методом сразу получается,
что Р. с к-м членом

Как следствие признака сравнения получается
следующее правило: если

то при l < 1 Р. (1) сходится,
а при l > 1 Р. расходится. При l=1 как в случае признака
Д'Аламбера, так и в случае признака Коши существуют и сходящиеся и расходящиеся
Р.

Важный класс Р. составляют абсолютно сходящиеся
ряды: Р. (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится Р.

Если Р. абсолютно сходится, то он и просто
сходится. Р.

абсолютно сходится, а Р.

сходится, но не абсолютно. Сумма абсолютно
сходящихся Р. и произведение абсолютно сходящегося Р. на число являются
также
абсолютно сходящимися Р. На абсолютно сходящиеся Р. наиболее полно переносятся
свойства конечных сумм. Пусть

- Р., составленный из тех же членов, что
и Р. (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Если Р. (1) сходится
абсолютно, то Р. (9) также сходится и имеет ту же сумму, что и Р. (1).
Если Р. (1) и Р. (6) абсолютно сходятся, то Р., полученный из всевозможных
попарных произведений uчленов этих Р.,
расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится, причём
если сумма этого Р. равна s, а суммы Р. (1) и (6) равны соответственно
sи
sто s = s, т. е. абсолютно сходящиеся Р. можно
почленно перемножать, не заботясь о порядке членов. Признаки сходимости
для Р. с неотрицательными членами применимы для установления абсолютной
сходимости рядов.

Для Р., не абсолютно сходящихся (такие
Р. называют также условно сходящимися), утверждение о независимости их
суммы от порядка слагаемых неверно. Справедлива теорема Римана: посредством
надлежащего изменения порядка членов данного не абсолютно сходящегося Р.
можно получить Р., имеющий наперёд заданную сумму, или расходящийся Р.
Примером условно сходящегося Р. может служить Р.

Если в этом Р. переставить члены так, чтобы
за двумя положительными следовал один отрицательный:

то его сумма увеличится в 1,5 раза. Существуют
признаки сходимости, применимые к не абсолютно сходящимся Р. Напр., признак
Лейбница: если

то знакочередующийся Р.

сходится. Более общие признаки можно получить,
напр., с помощью преобразования Абеля для Р., представимых в виде

Признак Абеля: если последовательность
{амонотонна
и ограничена, а Р.

сходится, то Р. (11) также сходится. Признак
Дирихле: если последовательность {амонотонно стремится
к нулю, а последовательность частичных сумм Р.

ограничена, то Р. (11) сходится. Напр.,
по признаку Дирихле Р.

сходится при всех действительных а. Иногда
рассматриваются Р. вида

Такой Р. называется с х од я щ и м с я,
если сходятся Р.

сумма этих Р. называется суммой исходного
Р.

Р. более сложной структуры являются кратные
ряды, т. е. Р. вида

где u,n
- заданные числа (вообще говоря, комплексные), занумерованные k индексами
пn каждый из к-рых независимо от других
пробегает натуральный ряд чисел. Простейшие из Р. этого типа - двойные
ряды.

Для нек-рых числовых Р. удаётся получить
простые формулы для величины или оценки их остатка, что весьма важно, напр.,
при оценке точности вычислений, проводимых с помощью Р. Напр., для суммы
геометрич. прогрессии (2)

для Р. (7) при сделанных предположениях

а для Р. (10)

С помощью нек-рых специальных преобразований
иногда удаётся "улучшить" сходимость сходящегося Р. В математике используются
не только сходящиеся Р., но и расходящиеся. Для последних вводятся более
общие понятия суммы Р. (см. Суммирование рядов и интегралов). Так,
напр., расходящийся Р. (5) можно просуммировать определённым способом к
'Ь-



Функциональные ряды. Понятие Р.
естественным образом обобщается на случай, когда членами Р. являются функции
и=
u(действительные,
комплексные или, более общо, функции, значения к-рых принадлежат какому-то
метрич. пространству), определённые на нек-ром множестве
Е. В этом
случае ряд

наз. функциональным.

Если Р. (11) сходится в каждой точке множества
Е, то он называется сходящимся на множестве Е.

Пример: Р.

сходится на всей комплексной плоскости.
Сумма сходящегося Р. непрерывных, напр., на нек-ром отрезке, функций не
обязательно является непрерывной функцией. Условия, при к-рых на функциональные
Р. переносятся свойства непрерывности, дифференцируемое™ и интегрируемости
конечных сумм функций, формулируются в терминах равномерной сходимости
Р. Сходящийся Р. (11) называется равномерно сходящимся на множестве Е,
если во всех точках Е отклонение частичных сумм Р.

при достаточно больших номерах п от
суммы
Р.

не превышает одной и той же сколь угодно
малой величины, точнее, каково бы ни было наперёд заданное число е > 0,
существует такой номер пчто

для всех номеров п >= nи
всех точек х принадлежит Е. Это условие равносильно тому, что

равномерно сходится на отрезке [0, q]
при
0 < q < 1 и не сходится равномерно на отрезке [О, 1].

Критерий Коши: для того чтобы Р. (11) равномерно
сходился на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0
существовал такой номер' пчто для всех номеров п>=n,
р>=0
и
всех точек х принадлежит Е выполнялось неравенство

Признак Вейерштрасса: если существует такой
сходящийся числовой Р.

то< Р. (11) равномерно сходится на
Е.

Сумма равномерно сходящегося Р. непрерывных
на нек-ром отрезке (или, более общо, на нек-ром топологическом пространстве)
функций является непрерывной на этом отрезке (пространстве) функцией. Сумма
равномерно сходящегося Р. интегрируемых на нек-ром множестве функций является
интегрируемой на этом множестве функцией, и Р. можно почленно интегрировать.
Если последовательность частичных сумм Р. интегрируемых функций сходится
в среднем к нек-рой интегрируемой функции, то интеграл от этой функции
равен сумме Р. из интегралов от членов Р. Интегрируемость в этих теоремах
понимается в смысле Римана или Лебега. Для интегрируемых по Лебегу функций
достаточным условием возможности почленного интегрирования Р. с почти всюду
сходящейся последовательностью частичных сумм является равномерная оценка
их абсолютных величин нек-рой интегрируемой по Лебегу функцией. Если члены
сходящегося на нек-ром отрезке Р. (11) дифференцируемы на нём и Р. из их
производных сходится равномерно, то сумма Р. также дифференцируема на этом
отрезке и Р. можно почленно дифференцировать .

Понятие функционального Р. обобщается и
на случай кратных Р. В различных разделах математики и её приложениях широко
используется разложение функции в функциональные Р., прежде всего в степенные
ряды, тригонометрические ряды и, более общо, в Р. по специальным функциям
некоторых операторов.

К понятию бесконечных сумм подошли ещё
учёные Др. Греции, у них уже встречалась сумма членов бесконечной геометрич.
прогрессии с положительным знаменателем меньшим единицы. Как самостоятельное
понятие Р. вошёл в математику в 17 в. И. Ньютон и Г. Лейбниц
систематически
использовали Р. для решения уравнений как алгебраических, так и дифференциальных.
Формальная теория Р. успешно развивалась в 18 - 19 вв. в работах Я. и И.
Берну
лли, Б. Тейлора, К. Маклорена,
Л. Эйлера,
Ж. Д'Аламбера,
Ж.
Лагранжа
и
др. В этот период использовались как сходящиеся, так и расходящиеся Р.,
хотя не было полной ясности в вопросе о законности действий над ними. Точная
теория Р. была создана в 19 в. на основе понятия
предела
в трудах
К. Гаусса, Б. Болъцано,
О. Коши,
П. Дирихле,
Н.
Абеля,
К.
Вейерштрасса,
Г.
Римана
и
др.

Лит. : М а р к у ш е в и ч А. И.
, Ряды. Элементарный очерк, 3 изд., М., 1957; Ильин В. А., П о з н я к
Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1 - 2, М., 1971-73; Кудрявцев
Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1 - 2. М., 1973; Никольский С.
М., Курс математического анализа, т. 1 - 2, М., 1973; Бахвалов Н. С. ,
Численные методы, М., 1973. Л.Д.Кудрявцев.