СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПРИНЦИП

СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПРИНЦИП одно
из основных положений теории метрических пространств о существовании
и единственности неподвижной точки множества при нек-ром специальном ("сжимающем")
отображении его в себя. С. о. п. применяют гл. обр. в теории дифференциальных
и интегральных уравнений.

Произвольное отображение
А
метрич.
пространства М в себя, к-рое каждой точке х
из М сопоставляет
нек-рую точку у = Ах из М, порождает в пространстве
М
уравнение

Ах = х. (*)

Действие отображения А
на
точку х можно интерпретировать как перемещение её в точку
у =
Ах. Точка х наз. неподвижной точкой отображения А, если выполняется
равенство (*). Т. о. вопрос о разрешимости уравнения (*) является вопросом
о нахождении неподвижных точек отображения А.

Отображение А метрич.
пространства М в себя наз. сжатым, если существует такое положит.
число а<1, что для любых точек х и у из М выполняется
неравенство

d(Ax, Ay) <= ad(x,
у),

где символ d(u,v) означает
расстояние между точками и и v метрич. пространства М.

С. о. п. утверждает, что
каждое сжатое отображение полного метрич. пространства в себя имеет, и
притом только одну, неподвижную точку. Кроме того,

для любой начальной точки
хиз
М
последовательность
{хопределяемая рекуррентными соотношениями

хп - 1, 2,...

имеет своим пределом неподвижную
точку х отображения А. При этом справедлива следующая оценка
погрешности:

С. о. п. позволяет единым
методом доказывать важные теоремы о существовании и единственности решений
дифференциальных, интегральных и др. уравнений. В условиях применимости
С. о. п. решение может быть с наперёд заданной точностью вычислено последовательных
приближений методом.

С помощью определённого
выбора полного метрич. пространства М и построения отображения А
эти
задачи сводят предварительно к уравнению (*), а затем находят условия,
при к-рых отображение А оказывается сжатым.

Лит.: Смирнов В. И.,
Курс высшей математики, т. 5, М., 1959. Ш.А.Алимов.