СИГМА-ФУНКЦИИ

СИГМА-ФУНКЦИИ целые
трансцендентные
функции, введённые К. Вейерштрассом при построении им своей
теории эллиптич. функций. Основной из четырёх С.-ф. является функция

числа, отношение к-рых не
является вещественным, а т и п независимо друг от друга пробегают
все положит. и отрицат. целые числа, кроме т = п = 0. Функция
б(z) имеет простые нули при z = w, т. е. в вершинах параллелограммов,
образующих правильную решётку на плоскости z; эти параллелограммы
получаются из основного параллелограмма с вершинами в точках 0, 2w2wвдоль его сторон.

При помощи функции б(z) могут
быть определены дзета-функция ?(z) и эллиптич. функция P(z) Вейерштрасса:

определяют остальные три
С.-ф. Имеем б(0) = 0, б(0) = 1, k = 1,2,3. Функция
б(z) является нечётной, а три остальные С.-ф.- чётные.

Любая эллиптическая функция
f(z) с периодами 2wвыражена через С.-ф. по формуле

где С - постоянная, a..., аи bсоответственно
полные системы нулей и полюсов функции f (z), удовлетворяющие условию
а
+ ... + а= b+...+b

С.-ф. тесно связаны с тэта-функциями.

Лит.: Смирнов В. И.,
Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Г у р в и ц А., Курант
Р., Теория функций, пер. [с нем.], М., 1968; Уиттекер Э. Т. и В а т с о
н Д ж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.