СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ функции
нескольких переменных, не изменяющиеся при любых перестановках переменных,
напр.

или x2+
x2
+ x2 - 4xОсобое
значение в алгебре имеют симметрические многочлены (с. м.) и среди них
-элементарные симметрические многочлены (э. с. м.)- функции

где суммы распространены
на комбинации неравных между собой чисел k, I, ...; они имеют первую
степень относительно каждого из переменных. Согласно формулам Виета, xxявляются корнями уравнения:

х^п - fn-1
+ fn-2 - ... + ( - 1)ⁿf
= 0. Согласно основной теореме теории С. ф., любой с. м. представляется
как многочлен от э. с. м., и притом только единственным образом: F(xх..-, х= = G (f,
f..., fn); если все коэффициенты в F целые, то и коэффициенты
в G целые. Иными словами, всякий с. м. от корней уравнения выражается целым
рациональным образом через его коэффициенты; напр.,

x2+
x2
+ x2 - 4x
= f2 - 2f

Другим важным классом С.
ф. являются степенные суммы

Они связаны с э. с. м. формулами
Ньютона

позволяющими последовательно
выражать fk через sи обратно.

Функция наз. кососимметрической,
или знакопеременной, если она не изменяется при чётных перестановках xxхи меняет знак при нечётных
перестановках. Такие функции рационально выражаются через f,
ffn и разностное произведение (см. Дискриминант)
D = Пквадрат
к-рого является С. ф. и потому рационально выражается через ff..., fК у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 10
изд., М., 1971.