СИММЕТРИЯ

СИММЕТРИЯ (от греч.
symmetria -соразмерность) в математике, 1) симметрия (в узком смысле),
или отражение (зеркальное) относительно плоскости а в пространстве (относительно
прямой
а на плоскости), - преобразование пространства (плоскости),
при к-ром каждая точка М переходит в точку М' такую, что
отрезок
ММ' перпендикулярен плоскости а (прямой а) и
делится ею пополам. Плоскость а (прямая а) наз. плоскостью
(осью) С.

Отражение - пример ортогонального
преобразования, изменяющего ориентацию (в отличие от собственного
движения). Любое ортогональное преобразование можно осуществить последовательным
выполнением конечного числа отражений - этот факт играет существенную роль
в исследовании С. геометрических фигур.

2) Симметрия (в широком смысле)
-свойство геометрич. фигуры Ф, характеризующее нек-рую правильность формы
Ф, неизменность её при действии движений и отражений. Точнее, фигура Ф
обладает С. (симметрична), если существует нетождественное ортогональное
преобразование, переводящее эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональных
преобразований, совмещающих фигуру Ф с самой собой, является группой,
наз.
группой симметрии этой фигуры (иногда сами эти преобразования наз. симметриями).

Так, плоская фигура, преобразующаяся
в себя при отражении, симметрична относительно прямой - оси С. (рис. 1);
здесь группа симметрии состоит из двух элементов. Если фигура Ф на плоскости
такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360°/п,
п - целое число>= 2, переводят её в себя, то Ф обладает С. n-го
порядка относительно точки О - центра С. Примером таких фигур являются
правильные многоугольники (рис. 2); группа С. здесь - т. н. циклич. группа
n-го
порядка. Окружность обладает С. бесконечного порядка (поскольку совмещается
с собой поворотом на любой угол).

Рис. 1. Плоская фигура, симметричная
относительно прямой АВ; точка М преобразуется в М' при
отражении (зеркальном) относительно АВ.

Рис. 2. Звездчатый правильный
многоугольник, обладающий симметрией восьмого порядка относительно своего
центра.

Простейшими видами пространственной
С., помимо С., порождённой отражениями, являются центральная С., осевая
С. и С. переноса.

а) В случае центральной симметрии
(инверсии) относительно точки О фигура Ф совмещается сама с собой после
последовательных отражений от трёх взаимно перпендикулярных плоскостей,
др. словами, точка О - середина отрезка, соединяющего симметричные точки
Ф (рис. 3). б) В случае осевой симметрии, или С. относительно прямой n-го
порядка, фигура накладывается на себя вращением вокруг нек-рой прямой (оси
С.) на угол 360°/n. Напр., куб имеет прямую АВ осью С. третьего
порядка, а прямую CD - осью С. четвёртого порядка (рис. 3); вообще, правильные
и полуправильные многогранники симметричны относительно ряда прямых. Расположение,
количество и порядок осей С. играют важную роль в кристаллографии (см.
Симметрия
кристаллов), в) Фигура, накладывающаяся на себя последовательным вращением
на угол 360°/2k вокруг прямой АВ и отражением в плоскости,
перпендикулярной к ней, имеет зеркально-осевую С. Прямая АВ,
наз.
зеркально-поворотной осью С. порядка 2k, является осью С. порядка
k
(рис.
4). Зеркально-осевая С. порядка 2 равносильна центральной С. г) В случае
симметрии переноса фигура накладывается на себя переносом вдоль нек-рой
прямой (оси переноса) на к.-л. отрезок. Напр., фигура с единственной осью
переноса обладает бесконечным множеством плоскостей С. (поскольку любой
перенос можно осуществить двумя последовательными отражениями от плоскостей,
перпендикулярных оси переноса) (рис. 5). Фигуры, имеющие несколько осей
переноса, играют важную роль при исследовании кристаллических решёток.В
искусстве С. получила распространение как один из видов гармоничной
композиции.
Она
свойственна произведениям архитектуры
(являясь
непременным качеством
если не всего сооружения в целом, то его частей и деталей -плана, фасада,
колонн, капителей и т. д.) и декоративно-прикладного искусства. С. используется
также в качестве основного приёма построения бордюров и
орнаментов (плоских
фигур, обладающих соответственно одной или несколькими С. переноса в сочетании
с отражениями) (рис. 6, 7).

Рис. 3. Куб, имеющий прямую
АВ
осью
симметрии третьего порядка. прямую CD -осью симметрии . четвёртого порядка,
точку О - центром симметрии. Точки М к М' куба симметричны как относительно
осей АВ и CD, так и относительно центра О.

Рис. 4. Многогранник, обладающий
зеркально-осевой симметрией : прямая АВ - зеркальнопово-ротная
ось четвёртого порядка.

Рис. 5. Фигуры, обладающие
симметрией переноса; верхняя фигура имеет также бесконечное множество вертикальных
осей симметрии (второго порядка), т. е. плоскостей отражения.

Рис. 6. Бордюр, накладывающийся
на себя или переносом на нек-рый отрезок вдоль горизонтальной оси, или
отражением (зеркальным) относительно той же оси и переносом вдоль неё на
отрезок, вдвое меньший.

Рис. 7. Орнамент; осью переноса
является любая прямая, соединяющая центры двух каких-либо завитков.

Комбинации С., порождённые
отражениями и вращениями (исчерпывающие все виды С. геометрич. фигур),
а также переносами, представляют интерес и являются предметом исследования
в различных областях естествознания. Напр., винтовая С., осуществляемая
поворотом на нек-рый угол вокруг оси, дополненным переносом вдоль той же
оси, наблюдается в расположении листьев у растений (рис. 8) (подробнее
см. в ст. Симметрия в биологии).

Рис. 8. Фигура, обладающая
винтовой симметрией, к-рая осуществляется переносом вдоль вертикальной
оси, дополненным вращением вокруг неё на 90°.

С. конфигурации молекул,
сказывающаяся на их физич. и химич. характеристиках, имеет значение при
теоретич. анализе строения соединений, их свойств и поведения в различных
реакциях (см. Симметрия в химии). Наконец, в физических науках вообще,
помимо уже указанной геометрич. С. кристаллов и решёток, приобретают важное
значение представления о С. в общем смысле (см. ниже). Так, симметричность
физ. пространства-времени, выражающаяся в его однородности и изотропности
(см. Относительности теория), позволяет установить т. н. сохранения
законы; обобщённая С. играет существенную роль в образовании атомных
спектров и в классификации элементарных частиц (см. Симметрия в
физике).

3) Симметрия (в общем смысле)
означает инвариантность структуры математического (или физического) объекта
относительно его преобразований. Напр., С. законов теории относительности
определяется инвариантностью их относительно Лоренца преобразований.
Определение
совокупности преобразований, оставляющих без изменения все структурные
соотношения объекта, т. е. определение группы G его автоморфизмов, стало
руководящим принципом современной математики и физики, позволяющим глубоко
проникнуть во внутр. строение объекта в целом и его частей.

Поскольку такой объект можно
представить элементами нек-рого пространства Р, наделённого соответствующей
характерной для него структурой, постольку преобразования объекта являются
преобразованиями Р. Т. о. получается представление группы G в группе преобразований
Р (или просто в Р), а исследование С. объекта сводится к исследованию действия
G на Р и отысканию инвариантов этого действия. Точно так же С. физ. законов,
управляющих исследуемым объектом и обычно описывающихся уравнениями, к-рым
удовлетворяют элементы пространства Р, определяется действием G на такие
уравнения.

Так, напр., если нек-рое
уравнение линейно на линейном же пространстве Р и остаётся инвариантным
при преобразованиях нек-рой группы G, то каждому элементу q из G
соответствует линейное преобразование Тв линейном пространстве
R
решений
этого уравнения. Соответствие q->Тявляется линейным
представлением G и знание всех таких её представлений позволяет устанавливать
различные свойства решений, а также помогает находить во мн. случаях (из
"соображений симметрии") и сами решения. Этим, в частности, объясняется
необходимость для математики и физики развитой теории линейных представлений
групп. Конкретные примеры см. в ст. Симметрия в физике.

Лит.: Шубников А.
В., Симметрия. (Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном
искусстве), М.- Л., 1940; Кокстер Г. С. М., Введение в геометрию, пер.
с англ., М., 1966; В е и л ь Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968; В и
г н е р Е., Этюды о симметрии, пер. с англ., М., 1971.И. Войцеховский.